Determine os limites: lim (x, y) (0,0) x^2 y+y^4 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o limite da função quando se aproxima de . Esse problema está dentro do tópico de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra e análise de limites, além de entender como lidar com expressões que envolvem mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Queremos saber qual valor se aproxima quando e ficam bem próximos de zero ao mesmo tempo. Se conseguirmos mostrar que fica cada vez menor perto de zero, podemos concluir que o limite é zero.

Passo 3

Vamos analisar a função . Podemos quebrar isso em duas partes para facilitar:
Vamos calcular o valor absoluto de cada parte para facilitar as contas:

Passo 4

Agora, somamos os valores absolutos das duas partes:
|f(x, y)| = |x^2 y + y^4 x^2| <= |x^2 y| + |y^4 x^2| = |x|^2 |y| + |y|^4 |x|^2

Passo 5

Para simplificar ainda mais, vamos chamar |x| <= r e |y| <= r como a distância de |f(x, y)| <= r^2 cdot r + r^4 cdot r^2 = r^3 + r^6 até . Então, temos:
Substituindo na expressão anterior:

Passo 6

Agora, observamos que à medida que se aproxima de 0, tanto quanto também se aproximam de 0. Portanto, a soma também se aproxima de 0.

Resposta

0

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