Determine a linearização das seguintes funções, ao redor dos pontos dados:
(a) f(x, y)=\operatorname{sen}(x y),(0,1).
(b) f(x, y, z)=\sqrt[4]{x^{2}+y^{2}+z^{2}},(1,0,0).
(c) f(x, y, z)=x y z,(1,1,1).
(d) f(x, y, z)=(x y)^{z},(12,10,1).
(e) f(x, y, z)=x y^{3}+\cos (\pi z),(1,3,1)
(f) f(x, y, z)=x^{2}-y^{2}-z^{2}+x y z,(1,1,0)

Passo 1

O enunciado pede a linearização (aproximação de primeira ordem) das funções ao redor dos pontos indicados. O conteúdo é o polinômio de Taylor de grau 1 em várias variáveis. Para cada caso vamos:
  1. Avaliar f no ponto dado.
  2. Calcular as derivadas parciais de f.
  3. Avaliar cada derivada parcial no ponto.
  4. Aplicar a fórmula
L(\mathbf{x})=f(\mathbf{a})+\sum_{i}f_{x_i}(\mathbf{a})\,(x_i - a_i).

Passo 2

Para (a) f(x,y)=\sin(xy) em (0,1).
Avaliação no ponto:
f(0,1)=\sin(0\cdot1)=0
Derivadas parciais:
f_x(x,y)=\cos(xy)\,y,\quad f_y(x,y)=\cos(xy)\,x
No ponto (0,1):
f_x(0,1)=\cos(0)\cdot1=1,\quad f_y(0,1)=\cos(0)\cdot0=0
Logo
L(x,y)=0+1\,(x-0)+0\,(y-1)=x

Passo 3

Para (b) f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^{1/4} em (1,0,0).
Avaliação no ponto:
f(1,0,0)=(1)^{1/4}=1
Derivadas parciais (usando r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}):
f_x(x,y,z)=\frac{x}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\quad f_y=\frac{y}{2r},\quad f_z=\frac{z}{2r}
No ponto (1,0,0):
f_x(1,0,0)=\tfrac12,\quad f_y(1,0,0)=0,\quad f_z(1,0,0)=0
Logo
L(x,y,z)=1+\tfrac12\,(x-1)

Passo 4

Para (c) f(x,y,z)=x\,y\,z em (1,1,1).
Avaliação no ponto:
f(1,1,1)=1
Derivadas parciais:
f_x=y\,z,\;f_y=x\,z,\;f_z=x\,y
No ponto (1,1,1):
f_x=f_y=f_z=1
Logo
L(x,y,z)=1+(x-1)+(y-1)+(z-1)

Passo 5

Para (d) f(x,y,z)=(xy)^z em (12,10,1).
Avaliação no ponto:
f(12,10,1)=120^1=120
Usando f=\exp\bigl(z\ln(xy)\bigr), as derivadas são
f_x=f\cdot\frac{z}{x},\quad f_y=f\cdot\frac{z}{y},\quad f_z=f\cdot\ln(xy)
No ponto (12,10,1):
f_x=120\cdot\frac{1}{12}=10,\quad f_y=120\cdot\frac{1}{10}=12,\quad f_z=120\ln(120)
Logo
L(x,y,z)=120+10\,(x-12)+12\,(y-10)+120\ln(120)\,(z-1)

Passo 6

Para (e) f(x,y,z)=x\,y^3+\cos(\pi z) em (1,3,1).
Avaliação no ponto:
f(1,3,1)=1\cdot27+\cos(\pi) =27-1=26
Derivadas parciais:
f_x=y^3,\quad f_y=3x\,y^2,\quad f_z=-\pi\sin(\pi z)
No ponto (1,3,1):
f_x=27,\quad f_y=27,\quad f_z=-\pi\sin(\pi)=0
Logo
L(x,y,z)=26+27\,(x-1)+27\,(y-3)

Passo 7

Para (f) f(x,y,z)=x^2-y^2-z^2+xyz em (1,1,0).
Avaliação no ponto:
f(1,1,0)=1-1-0+0=0
Derivadas parciais:
f_x=2x+yz,\quad f_y=-2y+xz,\quad f_z=-2z+xy
No ponto (1,1,0):
f_x=2,\quad f_y=-2,\quad f_z=1
Logo
L(x,y,z)=0+2\,(x-1)-2\,(y-1)+1\,(z-0)

Resposta

(a) L(x,y)=x
(b) L(x,y,z)=1+\tfrac12(x-1)
(c) L(x,y,z)=1+(x-1)+(y-1)+(z-1)
(d) L(x,y,z)=120+10(x-12)+12(y-10)+120\ln(120)(z-1)
(e) L(x,y,z)=26+27(x-1)+27(y-3)
(f) L(x,y,z)=2(x-1)-2(y-1)+(z-0)

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