Determine a margem de erro e o intervalo de confiança para: n=50; n=75; n=150; n=64;
\begin{array}{ll} \overline{\mathrm{x}}=63,4 ; & \sigma=2,4 \\\ \overline{\mathrm{x}}=2,76 ; & \sigma=0,88 \\\ \overline{\mathrm{x}}=77,6 ; & \sigma=14,2 \\\ \overline{\mathrm{x}}=23228 ; & \sigma=8779 \end{array}
\mathrm{NC}=90 %;

Passo 1

O enunciado nos dá quatro amostras independentes, cada uma com tamanho n, média amostral \overline{x} e desvio-padrão populacional \sigma. Queremos, para cada caso, a margem de erro E e o intervalo de confiança de 90\% para a média. Como \sigma é conhecida, usamos a distribuição normal padrão.

Passo 2

O valor crítico z_{\alpha/2} para intervalo de confiança de 90\% satisfaz
P\bigl(-z_{\alpha/2}\le Z\le z_{\alpha/2}\bigr)=0,90.
Dessa forma,
z_{\alpha/2}=1,645.

Passo 3

A fórmula da margem de erro é
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 4

Para n=50, \overline{x}=63,4 e \sigma=2,4:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2,4}{\sqrt{50}}\approx0,3394,
E = 1,645 \times 0,3394 \approx 0,5585 \approx 0,56.
O intervalo de confiança é
63,4 \pm 0,56 \implies (62,84,\;63,96).

Passo 5

Para n=75, \overline{x}=2,76 e \sigma=0,88:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0,88}{\sqrt{75}}\approx0,1016,
E = 1,645 \times 0,1016 \approx 0,1671 \approx 0,17.
O intervalo de confiança é
2,76 \pm 0,17 \implies (2,59,\;2,93).

Passo 6

Para n=150, \overline{x}=77,6 e \sigma=14,2:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{14,2}{\sqrt{150}}\approx1,1599,
E = 1,645 \times 1,1599 \approx 1,908 \approx 1,91.
O intervalo de confiança é
77,6 \pm 1,91 \implies (75,69,\;79,51).

Passo 7

Para n=64, \overline{x}=23228 e \sigma=8779:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{8779}{\sqrt{64}} = \frac{8779}{8} = 1097,375,
E = 1,645 \times 1097,375 \approx 1805,9 \approx 1806.
O intervalo de confiança é
23228 \pm 1806 \implies (21422,\;25034).

Resposta

n=50: E\approx0,56, IC _{90\%}=(62,84,\;63,96)
n=75: E\approx0,17, IC _{90\%}=(2,59,\;2,93)
n=150: E\approx1,91, IC _{90\%}=(75,69,\;79,51)
n=64: E\approx1806, IC _{90\%}=(21422,\;25034)

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