Determine a massa de um funil fino com o formato do cone z = raiz(x^2 + y^2), 1 <= z <= 4, se sua função densidade é rho(x, y, z) = 10 - z.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para determinar a massa de um funil em forma de cone, onde a equação do cone é e ele vai de até . A densidade desse funil é dada por . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas cilíndricas, pois a simetria do cone facilita esse método.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o formato do cone. A equação descreve um cone que se abre para cima, com sua ponta no ponto (0,0,0). Como estamos considerando de 1 a 4, estamos olhando para uma parte desse cone entre esses dois valores de altura.

Passo 3

Para calcular a massa, precisamos integrar a densidade sobre todo o volume do cone. Em termos matemáticos, a massa é dada por:

Passo 4

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde , , e . Nesse sistema, o volume diferencial se torna . Além disso, a densidade permanece a mesma.

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de integração. Como o cone é simétrico em torno do eixo , varia de 0 a . A altura varia de 1 a 4. E para cada , o raio vai de 0 até (pois no cone).

Passo 6

Com isso, podemos escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas:

Passo 7

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a :

Passo 8

Agora, a integral se simplifica para:
Podemos tirar o para fora da integral:

Passo 9

Vamos resolver a integral em relação a :
Calculando isso:

Passo 10

Agora, substituímos de volta na integral:

Resposta

A massa do funil é unidades de massa.

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