Determine a massa de um funil fino com o formato do cone
, se sua função densidade é
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para determinar a massa de um funil em forma de cone, onde a equação do cone é
e ele vai de
até
. A densidade desse funil é dada por
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas cilíndricas, pois a simetria do cone facilita esse método.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o formato do cone. A equação
descreve um cone que se abre para cima, com sua ponta no ponto (0,0,0). Como estamos considerando
de 1 a 4, estamos olhando para uma parte desse cone entre esses dois valores de altura.
Passo 3
Para calcular a massa, precisamos integrar a densidade sobre todo o volume do cone. Em termos matemáticos, a massa
é dada por:
Passo 4
Vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
. Nesse sistema, o volume diferencial
se torna
. Além disso, a densidade
permanece a mesma.
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de integração. Como o cone é simétrico em torno do eixo
,
varia de 0 a
. A altura
varia de 1 a 4. E para cada
, o raio
vai de 0 até
(pois
no cone).
Passo 6
Com isso, podemos escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Passo 7
Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 8
Agora, a integral se simplifica para:
Podemos tirar o
para fora da integral:
Passo 9
Vamos resolver a integral em relação a
:
Calculando isso:
Passo 10
Agora, substituímos de volta na integral:
Resposta
A massa do funil é
unidades de massa.