Determine as massas de ar seco e vapor de água contidos em uma sala com volume de 90 \mathrm{~m}^{3} a 93 \mathrm{kPa}, 15^{\circ} \mathrm{C} e umidade relativa de 50 \%.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as massas de ar seco e de vapor d’água numa sala com volume 90\\ \mathrm{m^{3}} nas condições:
  • pressão total P=93\\ \mathrm{kPa};
  • temperatura 15^\circ\mathrm{C};
  • umidade relativa \varphi=50\%.
Dados fornecidos (extraídos do enunciado):
V = 90\\ \mathrm{m^{3}},\qquad P = 93\\ \mathrm{kPa},\qquad T = 15^\circ\mathrm{C},\qquad \varphi = 50\%.
O que se pede:
  • massa do ar seco contido na sala, m_{\text{ar}};
  • massa do vapor de água contido na sala, m_{v}.

Passo 2

Entendendo o que é umidade relativa e pressão de saturação (aula rápida):
  • A umidade relativa \varphi é definida por \varphi=\dfrac{p_{v}}{p_{s}(T)}, onde:
    • p_{v} é a pressão parcial do vapor de água no ar (o que queremos encontrar a partir de \varphi);
    • p_{s}(T) é a pressão de vapor saturante da água à temperatura T (valor tabulado).
  • Assim, a pressão parcial do vapor é
p_{v}=\varphi\;p_{s}(T).
  • Pela lei de Dalton das pressões parciais, a pressão do ar seco (mistura sem vapor) é
p_{\text{ar}} = P - p_{v}.
Explicação breve: a mistura ar + vapor obedece à soma das pressões parciais igual à pressão total; cada componente pode ser tratado como gás ideal com sua pressão parcial.

Passo 3

Valor da pressão de saturação de vapor a 15^\circ\mathrm{C}:
  • Esse valor não é deduzível por álgebra simples; é obtido em tabelas de propriedades da água. Usarei o valor padrão:
p_{s}(15^\circ\mathrm{C}) = 1{,}705\\ \mathrm{kPa}.
(Observação: este número foi obtido em tabela de pressão de vapor saturante para água.)

Passo 4

Calcular a pressão parcial do vapor p_{v} usando \varphi=0{,}50:
p_{v} = \varphi\,p_{s}(T) = 0{,}50 \times 1{,}705\\ \mathrm{kPa} = 0{,}8525\\ \mathrm{kPa}.
Calcular a pressão parcial do ar seco:
p_{\text{ar}} = P - p_{v} = 93\\ \mathrm{kPa} - 0{,}8525\\ \mathrm{kPa} = 92{,}1475\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Equação dos gases ideais para cada componente e constantes:
  • Para um gás ideal: \,pV = m R_{\text{específico}} T\,í, onde:
    • p é a pressão do gás (Pa),
    • V é o volume (m ^3),
    • m é a massa (kg),
    • R_{\text{específico}}í é a constante específica do gás (J·kg ^{-1}·K ^{-1}),
    • T é a temperatura absoluta (K).
  • Vamos aplicar essa equação separadamente para o ar seco (usando p_{\text{ar}}) e para o vapor d’água (usando p_{v}).
    Constantes que usaremos:
R_{\text{ar}} = 287{,}05\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}},\qquad R_{v} = 461{,}5\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}.
Temperatura absoluta:
T = 15^\circ\mathrm{C} = 15 + 273{,}15 = 288{,}15\\ \mathrm{K}.
Importante: as pressões devem ser convertidas para pascal (1 kPa = 1000 Pa) antes de usar a fórmula.

Passo 6

Calcular a massa do ar seco m_{\text{ar}}:
m_{\text{ar}} = \dfrac{p_{\text{ar}}\,V}{R_{\text{ar}}\,T}.
Substituindo valores (converter pressões para Pa: 92{,}1475\\ \mathrm{kPa}=92{,}147{,}5\\ \mathrm{Pa}):
m_{\text{ar}} = \dfrac{92\,147{,}5\\ \mathrm{Pa}\times 90\\ \mathrm{m^{3}}}{287{,}05\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}\times 288{,}15\\ \mathrm{K}}.
Fazendo as contas passo a passo:
  • Numerador: 92\,147{,}5\times 90 = 8\,293\,275.
  • Denominador: 287{,}05\times 288{,}15 \approx 82\,713{,}46.
    Logo
m_{\text{ar}} \approx \dfrac{8\,293\,275}{82\,713{,}46}\\ \mathrm{kg}\approx 100{,}3\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Calcular a massa do vapor de água m_{v}:
m_{v} = \dfrac{p_{v}\,V}{R_{v}\,T}.
Substituindo valores (converter p_{v}=0{,}8525\\ \mathrm{kPa}=852{,}5\\ \mathrm{Pa}):
m_{v} = \dfrac{852{,}5\\ \mathrm{Pa}\times 90\\ \mathrm{m^{3}}}{461{,}5\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}\times 288{,}15\\ \mathrm{K}}.
Cálculos:
  • Numerador: 852{,}5\times 90 = 76\,725.
  • Denominador: 461{,}5\times 288{,}15 \approx 132\,981{,}23.
    Logo
m_{v} \approx \dfrac{76\,725}{132\,981{,}23}\\ \mathrm{kg}\approx 0{,}577\\ \mathrm{kg}.

Passo 8

Verificação alternativa (chequinho rápido):
  • Razão massa de vapor / massa de ar seco (mistura) dada por \,w=\dfrac{m_{v}}{m_{\text{ar}}}=\dfrac{0{,}622\,p_{v}}{p_{\text{ar}}}\,.
    • Calcular \dfrac{0{,}622\times 0{,}8525}{92{,}1475}\approx 0{,}00575.
    • Multiplicando por m_{\text{ar}}\approx 100{,}3\\ \mathrm{kg} obtém-se m_{v}\approx 0{,}577\\ \mathrm{kg}, consistente com o cálculo anterior.

Resposta

m_{\text{ar}} \approx 100{,}3\\ \mathrm{kg}
m_{v} \approx 0{,}577\\ \mathrm{kg}

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