Determine as matrizes canônicas de T=T_{1} \circ T_{2} e T^{\prime}=T_{2} \circ T_{1}
T_{1}: \mathbb{R}^{1} \rightarrow \mathbb{R}^{2} onde T_{1}(x)=(x, 4 x)
e \quad T_{2}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{1} onde T_{2}(x, y)=(y+3 x)

Passo 1

O enunciado pede para determinar as matrizes canônicas (nas bases canônicas padrão) de duas composições:
  • T = T_{1}\circ T_{2},
  • T' = T_{2}\circ T_{1}.
As transformações lineares dadas são:
  • T_{1}: \mathbb{R}^{1}\to\mathbb{R}^{2} com T_{1}(x)=(x,4x).
  • T_{2}: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{1} com T_{2}(x,y)=y+3x.
Portanto:
  • T é uma transformação de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2}.
  • T' é uma transformação de \mathbb{R}^{1} em \mathbb{R}^{1}.

Passo 2

Explicação didática do que é matriz canônica (na base padrão) e como construí-la:
  • A base padrão de \mathbb{R}^{n} é formada pelos vetores \{e_{1},\dots,e_{n}\} onde cada e_{i} tem 1 na posição i e 0 nas outras.
  • A matriz canônica de uma transformação linear S é obtida colocando em cada coluna a imagem de um vetor da base padrão: a coluna i é S(e_{i}) escrita em coordenadas.
  • Alternativamente, se A_{S} é a matriz de S e A_{R} a de R, a matriz da composição S\circ R (quando compatível) é A_{S}A_{R} porque para todo vetor coluna v vale (S\circ R)(v)=A_{S}(A_{R}v)=(A_{S}A_{R})v.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo às transformações dadas.

Passo 3

Matriz canônica de T_{1}:
  • Domínio de T_{1} é \mathbb{R}^{1}. A base padrão é \{e_{1}\} com e_{1}=1.
  • Calcular T_{1}(e_{1}): T_{1}(1)=(1,4).
  • Colocar esse vetor como única coluna da matriz A_{1} (matriz 2\times1).
A_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Matriz canônica de T_{2}:
  • Domínio de T_{2} é \mathbb{R}^{2}. A base padrão é \{e_{1}=(1,0),\,e_{2}=(0,1)\}.
  • Calcular T_{2}(e_{1}): T_{2}(1,0)=0+3\cdot1=3.
  • Calcular T_{2}(e_{2}): T_{2}(0,1)=1+3\cdot0=1.
  • Colocar essas imagens como colunas da matriz A_{2} (matriz 1\times2).
A_{2}=\begin{pmatrix}3 & 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Encontrar a matriz canônica de T=T_{1}\circ T_{2} usando multiplicação de matrizes:
  • Para qualquer v\in\mathbb{R}^{2}, T(v)=T_{1}(T_{2}(v))=A_{1}(A_{2}v)=(A_{1}A_{2})v.
  • Logo a matriz de T é A=A_{1}A_{2}. Aqui A_{1} é 2\times1 e A_{2} é 1\times2; o produto é uma matriz 2\times2.
Calcule o produto explicitamente:
A = A_{1}A_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot3 & 1\cdot1\\[4pt]4\cdot3 & 4\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]12 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação alternativa (aplicando a composição nas bases de \mathbb{R}^{2}) — bom para entender e checar erros:
  • Tome e_{1}=(1,0). T_{2}(e_{1})=3. Então T(e_{1})=T_{1}(3)=(3,12). Isso corresponde à primeira coluna de A.
  • Tome e_{2}=(0,1). T_{2}(e_{2})=1. Então T(e_{2})=T_{1}(1)=(1,4). Isso corresponde à segunda coluna de A.
    Assim A=\begin{pmatrix}3 & 1\\\ 12 & 4\end{pmatrix} está consistente.

Passo 7

Encontrar a matriz canônica de T'=T_{2}\circ T_{1}:
  • Para x\in\mathbb{R}^{1}, T'(x)=T_{2}(T_{1}(x)).
  • Em termos de matrizes, A'=A_{2}A_{1}. Aqui A_{2} é 1\times2 e A_{1} é 2\times1, então A' será 1\times1 (um escalar).
Calcule o produto:
A' = A_{2}A_{1}=\begin{pmatrix}3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix} =3\cdot1 + 1\cdot4 = 7.
Interpretando: T' age em \mathbb{R}^{1} como multiplicação por 7, isto é T'(x)=7x.]

Resposta

T:\\ \begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]12 & 4\end{pmatrix}
T':\\ \begin{pmatrix}7\end{pmatrix}]

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