Determine as matrizes canônicas de
e
onde
e
onde
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar as matrizes canônicas (nas bases canônicas padrão) de duas composições:
-
, -
.
As transformações lineares dadas são:
-
com . -
com .
Portanto:
-
é uma transformação de em . -
é uma transformação de em .
Passo 2
Explicação didática do que é matriz canônica (na base padrão) e como construí-la:
- A base padrão de
é formada pelos vetores onde cada tem 1 na posição e 0 nas outras. - A matriz canônica de uma transformação linear
é obtida colocando em cada coluna a imagem de um vetor da base padrão: a coluna é escrita em coordenadas. - Alternativamente, se
é a matriz de e a de , a matriz da composição (quando compatível) é porque para todo vetor coluna vale .
Vou aplicar esse procedimento passo a passo às transformações dadas.
Passo 3
Matriz canônica de
:
- Domínio de
é . A base padrão é com . - Calcular
: . - Colocar esse vetor como única coluna da matriz
(matriz ).
Passo 4
Matriz canônica de
:
- Domínio de
é . A base padrão é . - Calcular
: . - Calcular
: . - Colocar essas imagens como colunas da matriz
(matriz ).
Passo 5
Encontrar a matriz canônica de
usando multiplicação de matrizes:
- Para qualquer
, . - Logo a matriz de
é . Aqui é e é ; o produto é uma matriz .
Calcule o produto explicitamente:
Passo 6
Verificação alternativa (aplicando a composição nas bases de
) — bom para entender e checar erros:
- Tome
. . Então . Isso corresponde à primeira coluna de . - Tome
. . Então . Isso corresponde à segunda coluna de .
Assimestá consistente.
Passo 7
Encontrar a matriz canônica de
:
- Para
, . - Em termos de matrizes,
. Aqui é e é , então será (um escalar).
Calcule o produto:
Interpretando:
age em
como multiplicação por
, isto é
.]