Determine os máximos e mínimos das funções:
, para
Passo 1
O enunciado dá a função
definida para
e pede que eu determine os máximos e mínimos da função.
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- Função:
. - Domínio:
. - Pergunta: onde estão os pontos de máximo e mínimo (locais e/ou globais) e quais são os valores correspondentes.
Passo 2
O plano geral (explicando como pensar nesse tipo de problema): para encontrar extremos de uma função suave numa região aberta do domínio, procura-se pontos críticos onde a derivada se anula ou não existe; depois se testa a natureza desses pontos (máximo, mínimo ou ponto de sela) usando o sinal da derivada em torno do ponto ou a segunda derivada. Aqui a função é diferenciável para todo
, portanto vou calcular a derivada, achar pontos onde ela é zero e usar a segunda derivada e limites para decidir se são máximos/minimos e se são globais. Dica prática para a prova: sempre verifique o domínio (feito) e os comportamentos nas fronteiras (aqui
e
) para saber se o extremo é global.
Passo 3
Calcular a primeira derivada. Lembro que a derivada de
é
(para
) e a derivada de
é
. Assim:
Explicando cada termo: a variável é
,
vem da derivada do logaritmo natural e
da derivada da função linear
.
Passo 4
Encontrar pontos críticos resolvendo
:
Como o domínio é
,
é um ponto crítico válido. Não há outros pontos onde
seja indefinida dentro do domínio.
Passo 5
Calcular a segunda derivada para testar concavidade:
Observação: para todo
temos
, então
. Isso significa que a função é côncava para baixo em todo o domínio
. Quando a segunda derivada é negativa num ponto crítico, esse ponto é um máximo local. Portanto
é um máximo local.
Passo 6
Como a concavidade é negativa para todo
, o máximo local em
é, na verdade, máximo global no domínio
. Mas para ter certeza completa quanto ao caráter global, examino os limites nas “bordas” do domínio:
- Como
, e , logo
- Como
, cresce muito mais devagar que , então domina e
Portanto a função tende a
nas duas “bordas” do domínio, o que confirma que não existe mínimo global finito (a função é não limitada inferiormente).
Passo 7
Calcular o valor da função no ponto crítico
:
Então o valor do máximo (local e global) é
em
.
Passo 8
Resumo interpretativo e dica para a prova: a única possibilidade de extremo interno é
. A segunda derivada negativa prova máximo aí. Os limites mostrando
nas extremidades do domínio impedem existência de mínimo global (ou mínimo local em qualquer outro ponto), então não há mínimo — a função não tem menor valor finito.
Resposta
Máximo global em
com valor
.
Não existem mínimos; .
Não existem mínimos;