Determine os máximos e mínimos das funções:
f(x)=\ln (x)-x, para x>0

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\ln(x)-x definida para x>0 e pede que eu determine os máximos e mínimos da função.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Função: f(x)=\ln(x)-x.
  • Domínio: x>0.
  • Pergunta: onde estão os pontos de máximo e mínimo (locais e/ou globais) e quais são os valores correspondentes.

Passo 2

O plano geral (explicando como pensar nesse tipo de problema): para encontrar extremos de uma função suave numa região aberta do domínio, procura-se pontos críticos onde a derivada se anula ou não existe; depois se testa a natureza desses pontos (máximo, mínimo ou ponto de sela) usando o sinal da derivada em torno do ponto ou a segunda derivada. Aqui a função é diferenciável para todo x>0, portanto vou calcular a derivada, achar pontos onde ela é zero e usar a segunda derivada e limites para decidir se são máximos/minimos e se são globais. Dica prática para a prova: sempre verifique o domínio (feito) e os comportamentos nas fronteiras (aqui x\to0^+ e x\to+\infty) para saber se o extremo é global.

Passo 3

Calcular a primeira derivada. Lembro que a derivada de \ln(x) é 1/x (para x>0) e a derivada de -x é -1. Assim:
f'(x)=\frac{1}{x}-1.
Explicando cada termo: a variável é x, \tfrac{1}{x} vem da derivada do logaritmo natural e -1 da derivada da função linear -x.

Passo 4

Encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
\frac{1}{x}-1=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
Como o domínio é x>0, x=1 é um ponto crítico válido. Não há outros pontos onde f' seja indefinida dentro do domínio.

Passo 5

Calcular a segunda derivada para testar concavidade:
f''(x) = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}-1\right)= -\frac{1}{x^{2}}.
Observação: para todo x>0 temos x^{2}>0, então f''(x)=-1/x^{2}<0. Isso significa que a função é côncava para baixo em todo o domínio x>0. Quando a segunda derivada é negativa num ponto crítico, esse ponto é um máximo local. Portanto x=1 é um máximo local.

Passo 6

Como a concavidade é negativa para todo x>0, o máximo local em x=1 é, na verdade, máximo global no domínio x>0. Mas para ter certeza completa quanto ao caráter global, examino os limites nas “bordas” do domínio:
  • Como x\to0^{+}, \ln(x)\to -\infty e -x\to0, logo
\lim_{x\to0^{+}} f(x)= -\infty.
  • Como x\to+\infty, \ln(x) cresce muito mais devagar que x, então -x domina e
\lim_{x\to+\infty} f(x)= -\infty.
Portanto a função tende a -\infty nas duas “bordas” do domínio, o que confirma que não existe mínimo global finito (a função é não limitada inferiormente).

Passo 7

Calcular o valor da função no ponto crítico x=1:
f(1)=\ln(1)-1=0-1=-1.
Então o valor do máximo (local e global) é -1 em x=1.

Passo 8

Resumo interpretativo e dica para a prova: a única possibilidade de extremo interno é x=1. A segunda derivada negativa prova máximo aí. Os limites mostrando -\infty nas extremidades do domínio impedem existência de mínimo global (ou mínimo local em qualquer outro ponto), então não há mínimo — a função não tem menor valor finito.

Resposta

Máximo global em x=1 com valor f(1)=-1.
Não existem mínimos; \inf_{x>0} f(x)=-\infty.

Exercícios relacionados