Determine o número complexo
, sabendo que
Passo 1
O enunciado pede: determinar o número complexo
tal que
Informações dadas:
- A incógnita é um número complexo
. - A equação envolve a quarta potência de
igual a .
O objetivo é encontrar todos osque satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Substituição para simplificar a ideia. Vamos definir uma nova variável complexa
Com essa definição a equação fica
Agora o problema é achar todos os números complexos
cuja quarta potência é
, e depois voltar para
usando
.
Explicação teórica necessária (passo-a-passo e sem pular etapas).
- Todo número complexo
pode ser escrito em forma polar como , onde: -
é o módulo (distância do ponto à origem), -
é o argumento (ângulo que o segmento até a origem faz com o eixo real).
-
- Se
, pela fórmula de De Moivre vale Aqui é um inteiro positivo. - No nosso caso queremos
. Escrevemos em forma polar: para qualquer (porque girar não muda o ponto). - Aplicando De Moivre para
, igualamos módulos e argumentos: - Módulo:
(porque ). - Argumento:
para algum inteiro . Então
- Módulo:
- Para obter todas as soluções distintas de
no plano complexo basta tomar (valores além desses repetem as mesmas soluções porque o argumento é periódico de ).
Passo 3
Calcular explicitamente as quatro raízes usando
.
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Portanto as quatro soluções de
são
Passo 4
Voltar para
usando
. Vamos calcular
correspondente a cada
.
-
Se
: Explicando: somou-se as partes reais () e as partes imaginárias ( permanece). -
Se
: Explicando:, sobra . -
Se
: Explicando:, sobra . -
Se
: Explicando:e a parte real permanece .
Passo 5
Revisão rápida para fixar a ideia: fizemos uma substituição que isolou a potência, identificamos que as soluções são as raízes quartas da unidade (pontos no círculo unitário com argumentos
), e depois somamos o deslocamento
para retornar ao
. Esse método é rápido e muito útil em provas: sempre que tiver
, pense nas raízes da unidade em forma polar.