Determine o número complexo z, sabendo que (z-1+i)^{4}=1

Passo 1

O enunciado pede: determinar o número complexo z tal que
(z-1+i)^{4}=1.
Informações dadas:
  • A incógnita é um número complexo z.
  • A equação envolve a quarta potência de z-1+i igual a 1.
    O objetivo é encontrar todos os z que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Substituição para simplificar a ideia. Vamos definir uma nova variável complexa
w = z-1+i.
Com essa definição a equação fica
w^{4}=1.
Agora o problema é achar todos os números complexos w cuja quarta potência é 1, e depois voltar para z usando z=1-i+w.
Explicação teórica necessária (passo-a-passo e sem pular etapas).
  • Todo número complexo w pode ser escrito em forma polar como w = r e^{i\theta}, onde:
    • r = |w| é o módulo (distância do ponto à origem),
    • \theta = \arg(w) é o argumento (ângulo que o segmento até a origem faz com o eixo real).
  • Se w = r e^{i\theta}, pela fórmula de De Moivre vale w^{n} = r^{n} e^{i n\theta}.Aqui n é um inteiro positivo.
  • No nosso caso queremos w^{4}=1. Escrevemos 1 em forma polar: 1 = 1\cdot e^{i 2\pi k} para qualquer k\in\mathbb{Z} (porque girar 2\pi não muda o ponto).
  • Aplicando De Moivre para w^{4}=1, igualamos módulos e argumentos:
    • Módulo: r^{4}=1 \Rightarrow r=1 (porque r\ge0).
    • Argumento: 4\theta = 2\pi k para algum inteiro k. Então \theta = \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi k}{2}.
  • Para obter todas as soluções distintas de w no plano complexo basta tomar k=0,1,2,3 (valores além desses repetem as mesmas soluções porque o argumento é periódico de 2\pi).

Passo 3

Calcular explicitamente as quatro raízes usando \theta = \dfrac{\pi k}{2}.
  • Para k=0: w = e^{i\cdot 0} = 1.
  • Para k=1: w = e^{i\frac{\pi}{2}} = i.
  • Para k=2: w = e^{i\pi} = -1.
  • Para k=3: w = e^{i\frac{3\pi}{2}} = -i.
Portanto as quatro soluções de w^{4}=1 são
w\in\{1,\;i,\;-1,\;-i\}.

Passo 4

Voltar para z usando z = 1 - i + w. Vamos calcular z correspondente a cada w.
  • Se w=1:
    z = 1 - i + 1 = 2 - i.
    Explicando: somou-se as partes reais ( 1+1=2) e as partes imaginárias ( -i permanece).
  • Se w=i:
    z = 1 - i + i = 1.
    Explicando: -i + i = 0, sobra 1.
  • Se w=-1:
    z = 1 - i - 1 = -i.
    Explicando: 1-1=0, sobra -i.
  • Se w=-i:
    z = 1 - i - i = 1 - 2i.
    Explicando: -i - i = -2i e a parte real permanece 1.

Passo 5

Revisão rápida para fixar a ideia: fizemos uma substituição que isolou a potência, identificamos que as soluções são as raízes quartas da unidade (pontos no círculo unitário com argumentos \dfrac{\pi k}{2}), e depois somamos o deslocamento 1-i para retornar ao z. Esse método é rápido e muito útil em provas: sempre que tiver (\text{algo})^{n}=1, pense nas raízes da unidade em forma polar.

Resposta

z=2-i
z=1
z=-i
z=1-2i