Determine as órbitas de cada permutação.
\beta=\left(\begin{array}{llllllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\\\ 3 & 2 & 8 & 1 & 5 & 7 & 6 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar as órbitas da permutação \beta dada em notação de duas linhas. A permutação é
\beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\[4pt] 3 & 2 & 8 & 1 & 5 & 7 & 6 & 4 \end{pmatrix}.
Das informações acima extraem-se os valores imagem de cada elemento:
\beta(1)=3,\quad \beta(2)=2,\quad \beta(3)=8,\quad \beta(4)=1,\quad \beta(5)=5,\quad \beta(6)=7,\quad \beta(7)=6,\quad \beta(8)=4.
O objetivo é, para cada i\in\{1,\dots,8\}, encontrar a órbita de i sob \beta.]

Passo 2

Definição útil (explicação didática): a órbita de um elemento a pela permutação \beta é o conjunto
\mathcal{O}(a)=\{a,\\ \beta(a),\\ \beta^2(a),\\ \beta^3(a),\\ \dots\},
onde \beta^k significa aplicar \beta k vezes. Como o conjunto é finito, ao iterar as imagens eventualmente volta-se a um elemento já visto, e a órbita é o conjunto desses elementos distintos. Outra forma prática: seguir a trajetória a\mapsto\beta(a)\mapsto\beta(\beta(a))\mapsto\cdots até retornar a a. As órbitas disjuntas formam uma partição de \{1,\dots,8\}.

Passo 3

Calcular a órbita de 1 passo a passo:
\beta(1)=3.
Aplicando \beta novamente:
\beta^2(1)=\beta(3)=8.
Mais uma vez:
\beta^3(1)=\beta(8)=4.
Outra aplicação:
\beta^4(1)=\beta(4)=1.
Como voltamos a 1, a sequência fecha. Logo a órbita de 1 é
\mathcal{O}(1)=\{1,3,8,4\}.

Passo 4

Calcular a órbita de 2:
\beta(2)=2.
Já voltou para 2 na primeira aplicação, portanto 2 é ponto fixo e
\mathcal{O}(2)=\{2\}.

Passo 5

Verificar 3 e 4. Começando por 3:
\beta(3)=8,\quad \beta(8)=4,\quad \beta(4)=1,\quad \beta(1)=3.
Como a trajetória de 3 é 3\to8\to4\to1\to3, concluímos que 3 e 4 já pertencem à órbita encontrada em Passo 3. Portanto
\mathcal{O}(3)=\mathcal{O}(4)=\{1,3,8,4\}.

Passo 6

Calcular a órbita de 5:
\beta(5)=5.
Logo 5 é ponto fixo e
\mathcal{O}(5)=\{5\}.

Passo 7

Calcular a órbita de 6:
\beta(6)=7,\quad \beta(7)=6.
A sequência é 6\to7\to6, fecha em dois passos. Assim
\mathcal{O}(6)=\mathcal{O}(7)=\{6,7\}.

Passo 8

Reunindo todas as órbitas distintas obtidas, elas cobrem \{1,\dots,8\} e são disjuntas, como deve ocorrer. Para complementar: essa partição corresponde também à decomposição em ciclos da permutação,
\beta=(1\\\ 3\\\ 8\\\ 4)(2)(5)(6\\\ 7),
onde ciclos de comprimento 1 são pontos fixos.

Resposta

\{1,3,8,4\}
\{2\}
\{5\}
\{6,7\}