onde \beta^k significa aplicar \betak vezes. Como o conjunto é finito, ao iterar as imagens eventualmente volta-se a um elemento já visto, e a órbita é o conjunto desses elementos distintos. Outra forma prática: seguir a trajetória a\mapsto\beta(a)\mapsto\beta(\beta(a))\mapsto\cdots até retornar a a. As órbitas disjuntas formam uma partição de \{1,\dots,8\}.
Passo 3
Calcular a órbita de 1 passo a passo:
\beta(1)=3.
Aplicando \beta novamente:
\beta^2(1)=\beta(3)=8.
Mais uma vez:
\beta^3(1)=\beta(8)=4.
Outra aplicação:
\beta^4(1)=\beta(4)=1.
Como voltamos a 1, a sequência fecha. Logo a órbita de 1 é
\mathcal{O}(1)=\{1,3,8,4\}.
Passo 4
Calcular a órbita de 2:
\beta(2)=2.
Já voltou para 2 na primeira aplicação, portanto 2 é ponto fixo e
Como a trajetória de 3 é 3\to8\to4\to1\to3, concluímos que 3 e 4 já pertencem à órbita encontrada em Passo 3. Portanto
\mathcal{O}(3)=\mathcal{O}(4)=\{1,3,8,4\}.
Passo 6
Calcular a órbita de 5:
\beta(5)=5.
Logo 5 é ponto fixo e
\mathcal{O}(5)=\{5\}.
Passo 7
Calcular a órbita de 6:
\beta(6)=7,\quad \beta(7)=6.
A sequência é 6\to7\to6, fecha em dois passos. Assim
\mathcal{O}(6)=\mathcal{O}(7)=\{6,7\}.
Passo 8
Reunindo todas as órbitas distintas obtidas, elas cobrem \{1,\dots,8\} e são disjuntas, como deve ocorrer. Para complementar: essa partição corresponde também à decomposição em ciclos da permutação,