Determine
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar $ P(P(P(\varnothing))) $. Aqui, estamos trabalhando com teoria dos conjuntos, mais especificamente com o conceito de conjunto potência. O que a gente vai precisar entender é o que significa o conjunto potência de um conjunto e como aplicá-lo várias vezes em sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o conjunto potência. O conjunto potência de um conjunto $ A $, denotado por $ P(A) $, é o conjunto de todos os subconjuntos possíveis de $ A $, incluindo o conjunto vazio e o próprio $ A $.
Então, começamos com $ \varnothing $, que é o conjunto vazio. Vamos calcular $ P(\varnothing) $.
Passo 3
O conjunto vazio $ \varnothing $ não tem elementos. Quais são os subconjuntos de $ \varnothing $? Bem, o único subconjunto de um conjunto vazio é ele mesmo, ou seja, o conjunto vazio.
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ P(P(\varnothing)) $. Já sabemos que $ P(\varnothing) = { \varnothing } $, que é um conjunto que contém apenas o conjunto vazio.
Quais são os subconjuntos de $ P(\varnothing) $? Temos:
- O conjunto vazio $ \varnothing $.
- O próprio conjunto $ { \varnothing } $.
Então:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular $ P(P(P(\varnothing))) $. Já encontramos que $ P(P(\varnothing)) = { \varnothing, { \varnothing } } $.
Agora, queremos todos os subconjuntos desse conjunto. Vamos listar:
- O conjunto vazio $ \varnothing $.
- O conjunto que contém apenas $ \varnothing $, ou seja, $ { \varnothing } $.
- O conjunto que contém apenas $ { \varnothing } $, ou seja, $ { { \varnothing } } $.
- O próprio conjunto $ { \varnothing, { \varnothing } } $.
Então: