Determine o plano tangente ao gráfico de z=x^{2}+y^{2} que seja paralelo ao plano z-2 x-y=0.

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente ao gráfico de \;z = x^2 + y^2; que seja paralelo ao plano dado \;z - 2x - y = 0.
Conteúdo: derivadas parciais e condição de paralelismo de planos via vetores normais.

Passo 2

Para a superfície definida por \;z = f(x,y) = x^2 + y^2, o vetor normal ao plano tangente em (x,y) vem de
G(x,y,z) = z - f(x,y) = 0
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\nabla G = \bigl(-f_x,\,-f_y,\,1\bigr).
Calculando as derivadas,
f_x = 2x, \quad f_y = 2y,
então
\nabla G = \bigl(-2x,\,-2y,\,1\bigr).

Passo 3

O plano dado \;z - 2x - y = 0 tem vetor normal
n = (-2,\,-1,\,1).
Para que os planos sejam paralelos, deve existir \lambda tal que
(-2x,\,-2y,\,1) \;=\;\lambda\,(-2,\,-1,\,1).
Isso gera o sistema
-2x = -2\lambda, \quad -2y = -\lambda, \quad 1 = \lambda.

Passo 4

Da terceira equação vem \lambda = 1. Substituindo nas duas primeiras:
-2x = -2\quad\Rightarrow\quad x = 1, \qquad -2y = -1\quad\Rightarrow\quad y = \tfrac12.
O ponto de tangência é \bigl(1,\tfrac12,z_0\bigr) com
z_0 = 1^2 + \bigl(\tfrac12\bigr)^2 = 1 + \tfrac14 = \tfrac54.

Passo 5

A equação do plano tangente em \bigl(x_0,y_0,z_0\bigr) é
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0).
Aqui f_x(1,\tfrac12)=2, f_y(1,\tfrac12)=1, x_0=1, y_0=\tfrac12, z_0=\tfrac54. Logo
z - \tfrac54 = 2\,(x - 1) + 1\,(y - \tfrac12).
Simplificando,
z = 2x + y - \tfrac54.

Resposta

z = 2x + y - \tfrac{5}{4}.

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