1. Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de f(x, y)=x^{2}+y^{2} e que contenham a interseção dos planos x+y+z=3 \mathrm{e} z=0.
  2. \beta é um plano tangente aos gráficos de f(x, y)=2+x^{2}+y^{2} \operatorname{eg}(x, y)=-x^{2}-y^{2}. Mostre que a^{2}+b^{2}=1, sendo (a, b, f(a, b)) o ponto em que \beta tangencia o gráfico de f.

Passo 1

Enunciados e o que nos pedem:
  • Questão 9: Determinar os planos que sejam tangentes ao gráfico de f(x,y)=x^{2}+y^{2} e que contenham a interseção dos planos x+y+z=3 e z=0.
    Informações relevantes dadas: a função f(x,y)=x^{2}+y^{2} e os dois planos cujos pontos de interseção definem uma reta que o plano tangente deve conter.
  • Questão 10: Seja \beta um plano tangente aos gráficos de f(x,y)=2+x^{2}+y^{2} e de g(x,y)=-x^{2}-y^{2}. Mostre que a^{2}+b^{2}=1, onde (a,b,f(a,b)) é o ponto em que \beta tangencia o gráfico de f.
    Informações relevantes dadas: as duas superfícies (gráficos) e que existe um mesmo plano tangente a ambas; queremos deduzir uma relação entre a e b.

Passo 2

Conceito essencial (aula rápida e prática): fórmula do plano tangente ao gráfico de z=f(x,y).
  • Se f for diferenciável em (a,b), o plano tangente ao gráfico de f no ponto (a,b,f(a,b)) é dado por
z = f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b).
Expliquei: f_x(a,b) é a derivada parcial de f em relação a x no ponto (a,b) — dá a inclinação do gráfico na direção x. Analogamente f_y(a,b) para a direção y. Essa fórmula dá o plano que “toca” o gráfico em (a,b,f(a,b)) e tem as inclinações adequadas.
Vou usar essa fórmula nas duas questões.

Passo 3

Resolver a Questão 9 — passo 1: calcular as derivadas parciais e a expressão geral do plano tangente.
  • Para f(x,y)=x^{2}+y^{2} temos
f_x(x,y)=2x,\qquad f_y(x,y)=2y.
  • No ponto de tangência (a,b) temos f(a,b)=a^{2}+b^{2}, f_x(a,b)=2a, f_y(a,b)=2b. Pelo plano tangente:
z = a^{2}+b^{2} + 2a(x-a) + 2b(y-b).

Passo 4

Resolver a Questão 9 — passo 2: simplificar a equação do plano tangente.
Desenvolvendo:
z = a^{2}+b^{2} + 2a x -2a^{2} + 2b y -2b^{2}
z = 2a x + 2b y - (a^{2}+b^{2}).
Isso é uma forma muito prática: o plano tangente no ponto (a,b,a^{2}+b^{2}) tem equação
\boxed{\,z = 2a x + 2b y - (a^{2}+b^{2})\,.}

Passo 5

Resolver a Questão 9 — passo 3: descrição da interseção dos planos dados (fonte: enunciado).
Os planos dados são x+y+z=3 e z=0. Pego a informação da imagem/ enunciado: substituindo z=0 em x+y+z=3 obtemos x+y=3. Logo a interseção é a reta formada por pontos (x,3-x,0), para todo x\in\mathbb{R}. Vou exigir que o plano tangente contenha todos esses pontos.

Passo 6

Resolver a Questão 9 — passo 4: impor que toda a reta esteja no plano tangente.
Para que o plano tangente contenha a reta (x,3-x,0) devemos ter, para todo x,
0 = 2a x + 2b(3-x) - (a^{2}+b^{2}).
Simplifico:
0 = (2a - 2b)\,x + 6b - (a^{2}+b^{2}).
Essa igualdade deve valer para todo x. Isso força que os coeficientes do polinômio em x sejam zero:
  1. Coeficiente de x: 2a - 2b = 0. Portanto
a=b.
  1. Termo constante: 6b - (a^{2}+b^{2}) = 0. Substituindo a=b obtemos
6a - 2a^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2a(3 - a) = 0.
Logo a=0 ou a=3. Como a=b, os candidatos são (a,b)=(0,0) e (3,3).

Passo 7

Resolver a Questão 9 — passo 5: escrever os planos tangentes correspondentes aos pontos encontrados.
  • Para (a,b)=(0,0): usar z = 2a x + 2b y - (a^{2}+b^{2})
z = 0.
Esse é um plano (na verdade o próprio plano z=0) e contém claramente a reta z=0,\;x+y=3.
  • Para (a,b)=(3,3): substituindo obtemos
z = 2\cdot 3\,x + 2\cdot 3\,y - (3^{2}+3^{2}) = 6x + 6y - 18.
Podemos escrever também em forma implicita: 6x+6y - z - 18 = 0.
Concluímos que são exatamente esses dois planos.

Passo 8

Resolver a Questão 10 — passo 1: escrever derivadas e plano tangente em termos de a,b.
  • Para f(x,y)=2+x^{2}+y^{2} temos f_x=2x, f_y=2y. No ponto (a,b):
f(a,b)=2+a^{2}+b^{2},\qquad f_x(a,b)=2a,\qquad f_y(a,b)=2b.
O plano tangente a f no ponto (a,b,f(a,b)) é
z = 2+a^{2}+b^{2} + 2a(x-a) + 2b(y-b).
Assim como antes, simplifico:
z = 2a x + 2b y + 2 - (a^{2}+b^{2}).

Passo 9

Resolver a Questão 10 — passo 2: usar que \beta é também tangente ao gráfico de g(x,y)=-x^{2}-y^{2}.
  • Para g(x,y)=-x^{2}-y^{2} temos g_x=-2x, g_y=-2y. Se \beta é tangente a g em algum ponto (u,v,g(u,v)), então as inclinações da mesma \beta em relação a x e y serão g_x(u,v)=-2u e g_y(u,v)=-2v.
  • Mas as inclinações de \beta já escritas a partir da tangência com f são 2a e 2b. Como é o mesmo plano, devemos ter
2a = -2u,\qquad 2b = -2v \quad\Longrightarrow\quad u=-a,\; v=-b.
Ou seja, o ponto de tangência em g tem projeção no plano xy exatamente (-a,-b).

Passo 10

Resolver a Questão 10 — passo 3: impor que o ponto de tangência de g satisfaça a equação do plano tangente encontrado a partir de f.
  • O ponto de g é (u,v,g(u,v)) = (-a,-b, -a^{2}-b^{2}). Ele deve satisfazer a equação do plano tangente a f:
\text{Lado esquerdo} = z = -a^{2}-b^{2}.
\text{Lado direito (avaliando a equação do plano de }f\text{ em }(x,y)=(-a,-b)) = 2a(-a) + 2b(-b) + 2 - (a^{2}+b^{2}).çã
Calculo o lado direito:
2a(-a) + 2b(-b) + 2 - (a^{2}+b^{2}) = -2a^{2} -2b^{2} + 2 - (a^{2}+b^{2}) = 2 - 3(a^{2}+b^{2}).
Igualando esquerda e direita:
- (a^{2}+b^{2}) = 2 - 3(a^{2}+b^{2}).
Somando 3(a^{2}+b^{2}) aos dois lados:
2(a^{2}+b^{2}) = 2 \quad\Longrightarrow\quad a^{2}+b^{2} = 1.

Resposta

Para a Questão 9: os dois planos são z=0 e z=6x+6y-18.
Para a Questão 10: a^{2}+b^{2}=1.

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