- Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de
e que contenham a interseção dos planos
.
-
é um plano tangente aos gráficos de
. Mostre que
, sendo
o ponto em que
tangencia o gráfico de
.
Passo 1
Enunciados e o que nos pedem:
-
Questão 9: Determinar os planos que sejam tangentes ao gráfico de
e que contenham a interseção dos planos e .
Informações relevantes dadas: a funçãoe os dois planos cujos pontos de interseção definem uma reta que o plano tangente deve conter. -
Questão 10: Seja
um plano tangente aos gráficos de e de . Mostre que , onde é o ponto em que tangencia o gráfico de .
Informações relevantes dadas: as duas superfícies (gráficos) e que existe um mesmo plano tangente a ambas; queremos deduzir uma relação entree .
Passo 2
Conceito essencial (aula rápida e prática): fórmula do plano tangente ao gráfico de
.
- Se
for diferenciável em , o plano tangente ao gráfico de no ponto é dado por
Expliquei:
é a derivada parcial de
em relação a
no ponto
— dá a inclinação do gráfico na direção
. Analogamente
para a direção
. Essa fórmula dá o plano que “toca” o gráfico em
e tem as inclinações adequadas.
Vou usar essa fórmula nas duas questões.
Passo 3
Resolver a Questão 9 — passo 1: calcular as derivadas parciais e a expressão geral do plano tangente.
- Para
temos
- No ponto de tangência
temos , , . Pelo plano tangente:
Passo 4
Resolver a Questão 9 — passo 2: simplificar a equação do plano tangente.
Desenvolvendo:
Isso é uma forma muito prática: o plano tangente no ponto
tem equação
Passo 5
Resolver a Questão 9 — passo 3: descrição da interseção dos planos dados (fonte: enunciado).
Os planos dados são
e
. Pego a informação da imagem/ enunciado: substituindo
em
obtemos
. Logo a interseção é a reta formada por pontos
, para todo
. Vou exigir que o plano tangente contenha todos esses pontos.
Passo 6
Resolver a Questão 9 — passo 4: impor que toda a reta esteja no plano tangente.
Para que o plano tangente contenha a reta
devemos ter, para todo
,
Simplifico:
Essa igualdade deve valer para todo
. Isso força que os coeficientes do polinômio em
sejam zero:
- Coeficiente de
: . Portanto
- Termo constante:
. Substituindo obtemos
Logo
ou
. Como
, os candidatos são
e
.
Passo 7
Resolver a Questão 9 — passo 5: escrever os planos tangentes correspondentes aos pontos encontrados.
- Para
: usar dá
Esse é um plano (na verdade o próprio plano
) e contém claramente a reta
.
- Para
: substituindo obtemos
Podemos escrever também em forma implicita:
.
Concluímos que são exatamente esses dois planos.
Passo 8
Resolver a Questão 10 — passo 1: escrever derivadas e plano tangente em termos de
.
- Para
temos , . No ponto :
O plano tangente a
no ponto
é
Assim como antes, simplifico:
Passo 9
Resolver a Questão 10 — passo 2: usar que
é também tangente ao gráfico de
.
- Para
temos , . Se é tangente a em algum ponto , então as inclinações da mesma em relação a e serão e . - Mas as inclinações de
já escritas a partir da tangência com são e . Como é o mesmo plano, devemos ter
Ou seja, o ponto de tangência em
tem projeção no plano
exatamente
.
Passo 10
Resolver a Questão 10 — passo 3: impor que o ponto de tangência de
satisfaça a equação do plano tangente encontrado a partir de
.
- O ponto de
é . Ele deve satisfazer a equação do plano tangente a :
Calculo o lado direito:
Igualando esquerda e direita:
Somando
aos dois lados: