Determine os polinômios característicos, os autovalores e os autovetores dos operadores a seguir.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(-y, x).

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y)=(-y,x).
Queremos encontrar o polinômio característico de T, seus autovalores e, em seguida, os autovetores correspondentes. Vamos representar T na base canônica e usar cálculo de determinante e sistemas lineares.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2\}, temos
T(e_1)=T(1,0)=(0,1),\quad T(e_2)=T(0,1)=(-1,0),
logo a matriz de T é
A=\begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico de A é dado por
\det(A - \lambda I) =\det\begin{pmatrix} -\lambda & -1\\\\ 1 & -\lambda \end{pmatrix} =\lambda^2+1.

Passo 4

Para achar os autovalores, resolvemos
\lambda^2 + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = i,\;-i.

Passo 5

Para cada autovalor resolvemos (A - \lambda I)v=0.
Para \lambda = i:
\begin{pmatrix} -\,i & -1\\\\ 1 & -\,i \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; -\,i\,x - y = 0 \;\Longrightarrow\; y = -\,i\,x.
Tomando x=1, um autovetor é
v_{i} = \begin{pmatrix}1\\\ -\,i\end{pmatrix}.
Para \lambda = -\,i:
\begin{pmatrix} i & -1\\\\ 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; i\,x - y = 0 \;\Longrightarrow\; y = i\,x.
Tomando x=1, um autovetor é
v_{-i} = \begin{pmatrix}1\i\end{pmatrix}.

Resposta

Polinômio característico:
\lambda^2 + 1.
Autovalores:
\lambda = i,\quad \lambda = -\,i.
Autovetores (em \mathbb{C}^2):
v_{i} = \begin{pmatrix}1\\\ -\,i\end{pmatrix}, \quad v_{-i} = \begin{pmatrix}1\i\end{pmatrix}.
Obs.: não há autovalores nem autovetores não-triviais em \mathbb{R}^2.

Exercícios relacionados