Determine a posição relativa das retas r1 e r2.
58. r1: x=2-t, y=3+2 t, z=1+t
r2: x=5-2 s, y=2+4 s, z=1+2 s

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar a posição relativa das retas e . Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente no estudo das retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar analisar as equações paramétricas das duas retas e verificar se elas são paralelas, coincidentes, se se cruzam ou se são retas que não se encontram (chamadas de retas “skew”).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. Nas equações paramétricas das retas, os coeficientes que acompanham os parâmetros x = 2 - t y = 3 + 2t z = 1 + t e x = 5 - 2s y = 2 + 4s z = 1 + 2s representam os vetores diretores.
Para :
O vetor diretor de é .
Para :
O vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Se forem, as retas são paralelas ou coincidentes; se não, elas podem ser retas que se cruzam ou retas skew.
Observando d2 = 2 times d1 e , percebemos que:
Isso significa que os vetores diretores são múltiplos, logo as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Para determinar se as retas são coincidentes ou apenas paralelas, vamos verificar se existe um ponto comum a ambas.
Vamos igualar as equações das duas retas:
2 - t = 5 - 2s 3 + 2t = 2 + 4s 1 + t = 1 + 2s
Vamos resolver esse sistema:
Da terceira equação:
1 + t = 1 + 2s implies t = 2s
Substituindo 2 - 2s = 5 - 2s implies 2 = 5 na primeira equação:
Isso não faz sentido, ou seja, não há solução para o sistema.

Passo 5

Como os vetores diretores são múltiplos (retas paralelas) e não possuem pontos em comum (não coincidentes), concluímos que as retas e são paralelas.

Resposta

As retas e são paralelas.

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