Determine as posições dos polos e os correspondentes sinais no domínio do tempo das seguintes FT (funções de transferência):
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede duas coisas: (1) determinar a posição dos polos; (2) escrever os sinais correspondentes no domínio do tempo. Informações relevantes fornecidas: o numerador é
e o denominador é
. Não há outras informações sobre região de convergência (ROC) ou causalidade no enunciado.
Passo 2
Encontrar os polos significa resolver o denominador igual a zero. Ou seja:
Portanto há um único polo simples em
. Vou explicar o que isso implica: um polo em
significa que no domínio do tempo aparece um termo exponencial com taxa
, algo da forma
(ou uma versão à esquerda no tempo — vou detalhar as duas possibilidades).
Passo 3
Relembrando a transformada de Laplace básica que vamos usar: para uma função exponencial unilateral (causal)
onde
é o degrau unitário (ou seja
para
e
para
), a transformada unilateral é
Aqui
é a constante de crescimento/decrescimento exponencial e
é a parte real de
. Aplicando essa fórmula com
e um ganho
, obtemos diretamente a representação causal no domínio do tempo.
Passo 4
Construção explícita do sinal causal correspondente:
se assumirmos a ROC típica de sistemas causais, isto é , então a transformada inversa dá
se assumirmos a ROC típica de sistemas causais, isto é
Explicando o que isso significa na prática: para
temos
; para
temos
. Esse sinal cresce exponencialmente com o tempo (porque o expoente é positivo), o que indica resposta instável no sentido de crescimento sem limite.
Passo 5
Existe uma interpretação alternativa se a ROC for à esquerda do polo (sinal anti-causal / à esquerda no tempo). Para sinais suportados apenas em
vale a transformada de Laplace bilateral
Note o sinal negativo adicional. Aplicando isso com
e ganho
, para a ROC
obtemos a forma anti-causal no tempo:
Isto significa: para
temos
; para
temos
. Esse sinal também envolve
(que cresce quando
aumenta), mas está localizado no passado (à esquerda).
Passo 6
Resumo físico e observações úteis para a prova:
- Polo:
(polo simples). - Duas interpretações possíveis conforme a ROC:
- Causal (sistema causal, ROC
): . - Anti-causal (ROC
): .
- Causal (sistema causal, ROC
- Em particular, se estiver lidando com um sistema físico causal típico, use a primeira opção. Como o polo está na parte real positiva (
), a resposta causal cresce exponencialmente e é instável.
Resposta
Pólo:
Se causal (ROC
):
Se anti-causal (ROC
):