Determine as posições dos polos e os correspondentes sinais no domínio do tempo das seguintes FT (funções de transferência):
Y_{2}(s)=\frac{6}{s-4}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
Y_{2}(s)=\frac{6}{s-4}
e pede duas coisas: (1) determinar a posição dos polos; (2) escrever os sinais correspondentes no domínio do tempo. Informações relevantes fornecidas: o numerador é 6 e o denominador é s-4. Não há outras informações sobre região de convergência (ROC) ou causalidade no enunciado.

Passo 2

Encontrar os polos significa resolver o denominador igual a zero. Ou seja:
s-4=0 \quad\Rightarrow\quad s=4.
Portanto há um único polo simples em s=4. Vou explicar o que isso implica: um polo em s=4 significa que no domínio do tempo aparece um termo exponencial com taxa 4, algo da forma e^{4t} (ou uma versão à esquerda no tempo — vou detalhar as duas possibilidades).

Passo 3

Relembrando a transformada de Laplace básica que vamos usar: para uma função exponencial unilateral (causal)
y(t)=e^{at}u(t),
onde u(t) é o degrau unitário (ou seja u(t)=1 para t\ge0 e u(t)=0 para t<0), a transformada unilateral é
\mathcal{L}\{e^{at}u(t)\}=\frac{1}{s-a},\qquad \text{ROC: }\Re(s)>a.
Aqui a é a constante de crescimento/decrescimento exponencial e \Re(s) é a parte real de s. Aplicando essa fórmula com a=4 e um ganho 6, obtemos diretamente a representação causal no domínio do tempo.

Passo 4

Construção explícita do sinal causal correspondente:
se assumirmos a ROC típica de sistemas causais, isto é \Re(s)>4, então a transformada inversa dá
y_2(t)=6\,e^{4t}u(t).
Explicando o que isso significa na prática: para t<0 temos y_2(t)=0; para t\ge0 temos y_2(t)=6e^{4t}. Esse sinal cresce exponencialmente com o tempo (porque o expoente é positivo), o que indica resposta instável no sentido de crescimento sem limite.

Passo 5

Existe uma interpretação alternativa se a ROC for à esquerda do polo (sinal anti-causal / à esquerda no tempo). Para sinais suportados apenas em t\le0 vale a transformada de Laplace bilateral
\mathcal{L}\{e^{at}u(-t)\}=\int_{-\infty}^{0} e^{-st}e^{at}\,dt=\frac{-1}{s-a},\qquad \text{ROC: }\Re(s)<a.
Note o sinal negativo adicional. Aplicando isso com a=4 e ganho 6, para a ROC \Re(s)<4 obtemos a forma anti-causal no tempo:
y_2(t)=-6\,e^{4t}u(-t).
Isto significa: para t>0 temos y_2(t)=0; para t\le0 temos y_2(t)=-6e^{4t}. Esse sinal também envolve e^{4t} (que cresce quando t aumenta), mas está localizado no passado (à esquerda).

Passo 6

Resumo físico e observações úteis para a prova:
  • Polo: s=4 (polo simples).
  • Duas interpretações possíveis conforme a ROC:
    • Causal (sistema causal, ROC \Re(s)>4): y_2(t)=6e^{4t}u(t).
    • Anti-causal (ROC \Re(s)<4): y_2(t)=-6e^{4t}u(-t).
  • Em particular, se estiver lidando com um sistema físico causal típico, use a primeira opção. Como o polo está na parte real positiva ( 4>0), a resposta causal cresce exponencialmente e é instável.

Resposta

Pólo: s=4
Se causal (ROC \Re(s)>4): y_{2}(t)=6\,e^{4t}u(t)
Se anti-causal (ROC \Re(s)<4): y_{2}(t)=-6\,e^{4t}u(-t)