Determine as posições dos polos e os correspondentes sinais no domínio do tempo das seguintes FT (funções de transferência):
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
O que se pede:
- determinar as posições dos polos (valores de
onde o denominador se anula); - determinar os correspondentes sinais no domínio do tempo (isto é, os sinais dos termos que aparecem ao inverter a transformada de Laplace para
).
Assumo a convenção usual de transformada unilateral de Laplace para sinais causais (
), de modo que as inversas são expressas com a função degrau
quando necessário.
Passo 2
Escolhemos decompor
em termos simples que correspondam a pares conhecidos da transformada de Laplace. Uma forma prática é reescrever o numerador isolando
:
Agora desenvolvo essa fração algebraicamente.
Passo 3
Faço a álgebra:
Essa é a decomposição em termos mais simples. Note que aqui apareceu um termo constante
e um termo com polo em
.
Passo 4
Identifico polos e zeros a partir da forma original e da decomposição:
- O denominador
se anula em , logo há um polo simples em . - O numerador
se anula em , então há um zero em (isso explica por que não há termo em na decomposição).
Portanto a única posição de polo finito é
Passo 5
Vou agora inverter a transformada termo a termo usando pares básicos da Laplace. Lembretes úteis (pares padrão):
-
. -
para .
Aplicando esses pares aos termos da decomposição
:
- O termo constante
no domínio de corresponde a no tempo (porque ). - O termo
corresponde a (aqui ).
Assim, a inversa de Laplace para um sinal causal é
Passo 6
Interpretação dos sinais:
- A componente impulsiva
tem coeficiente positivo : portanto é uma contribuição positiva no instante . - A componente exponencial tem coeficiente
, ou seja, é uma contribuição negativa decrescente no tempo: . O polo em (parte real negativa) gera um decaimento exponencial; o sinal negativo vem diretamente do coeficiente .
Observação rápida e motivadora: ver o polo em
já te diz que aparece um termo
— só falta a constante multiplicativa (aqui
) para saber se esse termo é positivo ou negativo. A decomposição algébrica é a ferramenta rápida para obter essa constante.
Resposta
Polo:
.
No domínio do tempo: