Determine as posições dos polos e os correspondentes sinais no domínio do tempo das seguintes FT (funções de transferência):
Y_{3}(s)=\frac{5 s}{s+7}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
Y_{3}(s)=\frac{5s}{s+7}.
O que se pede:
  • determinar as posições dos polos (valores de s onde o denominador se anula);
  • determinar os correspondentes sinais no domínio do tempo (isto é, os sinais dos termos que aparecem ao inverter a transformada de Laplace para y_3(t)).
Assumo a convenção usual de transformada unilateral de Laplace para sinais causais ( t\ge0), de modo que as inversas são expressas com a função degrau u(t) quando necessário.

Passo 2

Escolhemos decompor Y_{3}(s) em termos simples que correspondam a pares conhecidos da transformada de Laplace. Uma forma prática é reescrever o numerador isolando s+7:
\frac{5s}{s+7} = \frac{5\,(s+7-7)}{s+7}.
Agora desenvolvo essa fração algebraicamente.

Passo 3

Faço a álgebra:
\frac{5s}{s+7} = \frac{5(s+7)-35}{s+7} = 5 - \frac{35}{s+7}.
Essa é a decomposição em termos mais simples. Note que aqui apareceu um termo constante 5 e um termo com polo em s=-7.

Passo 4

Identifico polos e zeros a partir da forma original e da decomposição:
  • O denominador s+7 se anula em s=-7, logo há um polo simples em s=-7.
  • O numerador 5s se anula em s=0, então há um zero em s=0 (isso explica por que não há termo em 1/s na decomposição).
    Portanto a única posição de polo finito é
s=-7\quad(\text{polo simples}).

Passo 5

Vou agora inverter a transformada termo a termo usando pares básicos da Laplace. Lembretes úteis (pares padrão):
  • \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1.
  • \mathcal{L}\{e^{-a t}u(t)\}=\dfrac{1}{s+a} para \operatorname{Re}(s)>-a.
Aplicando esses pares aos termos da decomposição \displaystyle 5-\frac{35}{s+7}:
  • O termo constante 5 no domínio de s corresponde a 5\delta(t) no tempo (porque \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1).
  • O termo -\dfrac{35}{s+7} corresponde a -35 e^{-7t}u(t) (aqui a=7).
Assim, a inversa de Laplace para um sinal causal é
y_{3}(t)=5\delta(t)-35\,e^{-7t}u(t),\qquad t\ge 0.

Passo 6

Interpretação dos sinais:
  • A componente impulsiva 5\delta(t) tem coeficiente positivo +5: portanto é uma contribuição positiva no instante t=0.
  • A componente exponencial tem coeficiente -35, ou seja, é uma contribuição negativa decrescente no tempo: -35e^{-7t}u(t). O polo em s=-7 (parte real negativa) gera um decaimento exponencial; o sinal negativo vem diretamente do coeficiente -35.
Observação rápida e motivadora: ver o polo em s=-7 já te diz que aparece um termo e^{-7t} — só falta a constante multiplicativa (aqui -35) para saber se esse termo é positivo ou negativo. A decomposição algébrica é a ferramenta rápida para obter essa constante.

Resposta

Polo: s=-7.
No domínio do tempo:
y_{3}(t)=5\delta(t)-35\,e^{-7t}u(t).