Determine, quando possível, o número lambda in R para que d(Q, r)=3, onde
r: x-y=3 e Q=(lambda, lambda), lambda >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o número real lambda tal que a distância entre o ponto Q = (lambda, lambda) e a reta r: x - y = 3 seja igual a 3. Isso envolve geometria analítica, especificamente o cálculo da distância entre um ponto e uma reta no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que calcula a distância d entre um ponto (x0, y0) e uma reta da forma Ax + By + C = 0. A fórmula é:
d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2
Aqui, a gente identifica os coeficientes da reta e as coordenadas do ponto Q.

Passo 3

Vamos reescrever a equação da reta r: x - y = 3 na forma geral Ax + By + C = 0. Subtraindo 3 de ambos os lados, temos:
x - y - 3 = 0
Então, os coeficientes são A = 1, B = -1, e C = -3.
O ponto Q tem coordenadas (lambda, lambda), ou seja, x0 = lambda e y0 = lambda.

Passo 4

Agora, vamos aplicar esses valores na fórmula da distância:
d = |1 cdot lambda + (-1) cdot lambda - 3|raiz1^2 + (-1)^2 = | lambda - lambda - 3|raiz1 + 1 = |-3|raiz2 = 3raiz2
Mas a gente quer que essa distância seja igual a 3. Então, montamos a equação:
3raiz2 = 3

Passo 5

Vamos resolver a equação:
3raiz2 = 3
Multiplicando ambos os lados por raiz2:
3 = 3raiz2
Dividindo ambos os lados por 3:
1 = raiz2
Isso não é verdadeiro, já que raiz2 approx 1,414. Portanto, não existe um número real lambda que satisfaça a condição dada.

Resposta

Não existe nenhum número real lambda >= 0 que faça com que a distância entre Q e a reta r seja igual a 3.

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