Determine se possível o valor de
para que a função seja contínua no ponto 0 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor de
para que a função
seja contínua no ponto 0. A função é definida da seguinte forma:
Aqui, estamos trabalhando com continuidade de funções. Para garantir que
seja contínua em
, precisamos que o limite de
quando
se aproxima de 0 seja igual a
, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa continuidade no ponto. Uma função é contínua em um ponto se:
- A função está definida nesse ponto.
- O limite da função quando
se aproxima desse ponto existe. - Esse limite é igual ao valor da função no ponto.
No nosso caso, já temos
. Então, precisamos garantir que:
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando
se aproxima de 0, o que nos dá uma forma indeterminada
. Nesses casos, podemos simplificar a expressão ou usar a regra de L’Hôpital.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão primeiro. No denominador, podemos fatorar
:
Então, a expressão fica:
Agora, vamos separar os termos:
Passo 5
Sabemos que:
onde
é uma constante. No nosso caso,
. Então:
Agora, vamos calcular o outro limite:
Passo 6
Multiplicando os dois limites:
Portanto:
Resposta
Para que a função seja contínua no ponto 0, o valor de
deve ser: