Determine se possível o valor de a para que a função seja contínua no ponto 0 .
f(x)=lll sen x3x^2-5 x & se & x neq 0 a & se & x=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor de f(x)=lll sen x3x^2-5 x & se & x neq 0 a & se & x=0 para que a função seja contínua no ponto 0. A função é definida da seguinte forma:
Aqui, estamos trabalhando com continuidade de funções. Para garantir que seja contínua em , precisamos que o limite de quando se aproxima de 0 seja igual a , que é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa continuidade no ponto. Uma função é contínua em um ponto se:
  1. A função está definida nesse ponto.
  2. O limite da função quando limx to 0 f(x) = a se aproxima desse ponto existe.
  3. Esse limite é igual ao valor da função no ponto.
No nosso caso, já temos . Então, precisamos garantir que:

Passo 3

Vamos calcular o limite:
limx to 0 sen x3x^2 - 5x
Observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando se aproxima de 0, o que nos dá uma forma indeterminada . Nesses casos, podemos simplificar a expressão ou usar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão primeiro. No denominador, podemos fatorar x^2 - 5x = x(x - 5) :
sen x3x(x - 5)
Então, a expressão fica:
sen x3x cdot 1x - 5
Agora, vamos separar os termos:

Passo 5

Sabemos que:
limx to 0 sen kxx = k
onde limx to 0 sen x3x = 13 é uma constante. No nosso caso, limx to 0 1x - 5 = 1-5 = -15 . Então:
Agora, vamos calcular o outro limite:

Passo 6

Multiplicando os dois limites:
13 cdot (-15) = -115
Portanto:
limx to 0 sen x3x^2 - 5x = -115

Resposta

Para que a função seja contínua no ponto 0, o valor de a = -115 deve ser:

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