Determine a pressão na qual o livre percurso médio no argônio, a 25^{\circ} \mathrm{C}, é comparável às dimensões lineares de um cubo de 1 L (aresta =1 \mathrm{dm} ).

Passo 1

O enunciado pede a pressão para a qual o livre percurso médio \lambda do argônio a 25^\circ\mathrm{C} seja comparável à aresta de um cubo de 1~\mathrm{L}, ou seja
\lambda \approx L = 1~\mathrm{dm} = 0,1~\mathrm{m}.
O conteúdo é teoria cinética dos gases e vamos usar a fórmula do livre percurso médio em função da pressão.

Passo 2

A expressão para o livre percurso médio de um gás monoatômico é
\lambda = \frac{k_B\,T}{\sqrt2\,\pi\,d^2\,P},
onde
\;k_B=1,38\times10^{-23}~\mathrm{J/K} é a constante de Boltzmann,
\;T=25^\circ\mathrm{C}=298~\mathrm{K},
\;d é o diâmetro efetivo de colisão do átomo de argônio (aprox. 3{,}4~\text{\AA}=3{,}4\times10^{-10}~\mathrm{m}),
e P é a pressão em pascal.

Passo 3

Queremos \lambda=0,1~\mathrm{m}. Invertendo a fórmula para P,
P = \frac{k_B\,T}{\sqrt2\,\pi\,d^2\,\lambda}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
\sqrt2\,\pi\,d^2\,\lambda =1{,}4142\times3{,}1416\times(3{,}4\times10^{-10})^2\times0{,}1 \approx5{,}14\times10^{-20}~\mathrm{m^3},
k_B\,T =1{,}38\times10^{-23}\times298\approx4{,}11\times10^{-21}~\mathrm{J}.
Logo,
P = \frac{4{,}11\times10^{-21}}{5{,}14\times10^{-20}} \approx0{,}08~\mathrm{Pa}.

Passo 5

Convertendo para unidades mais comuns:
0{,}08~\mathrm{Pa}\approx8\times10^{-4}~\mathrm{mbar}\approx6\times10^{-4}~\mathrm{Torr}\approx8\times10^{-7}~\mathrm{atm}.

Resposta

A pressão é aproximadamente 0,08~\mathrm{Pa} (ou 8\times10^{-4}~\mathrm{mbar}).

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