Estime o número de colisões que um certo átomo de argônio faz em 1,0 \mathrm{~s} quando a temperatura do gás é de 25^{\circ} \mathrm{C} e a pressão é de
1,0 \mathrm{~atm}

Passo 1

O enunciado pede para estimar o número de colisões que um átomo de argônio sofre em 1{,}0\\ \mathrm{s} quando o gás está a 25^\circ\mathrm{C} (isto é, T=298\\ \mathrm{K}) e P=1{,}0\\ \mathrm{atm}. Vamos usar a teoria cinética dos gases, na qual a frequência de colisão por partícula é dada por
Z = \sqrt{2}\,n\,\sigma\,\bar v
onde n é a densidade numérica, \sigma é a seção de choque e \bar v é a velocidade média das partículas.

Passo 2

Calcular a densidade numérica n. Da equação de gases ideais em forma microscópica,
n = \frac{P}{k\,T}
onde P=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, k=1{,}38\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K} e T=298\\ \mathrm{K}.
Numericamente,
n = \frac{1{,}013\times10^{5}}{1{,}38\times10^{-23}\times298} \approx 2{,}46\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 3

Calcular a velocidade média \bar v. Pela distribuição de Maxwell–Boltzmann,
\bar v = \sqrt{\frac{8\,k\,T}{\pi\,m}}
onde m é a massa de um átomo de argônio. Como a massa atômica é 40\,\mathrm{u} e 1\,\mathrm{u}=1{,}66\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}, temos
m = 40 \times 1{,}66\times10^{-27} = 6{,}64\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
Logo,
\bar v = \sqrt{\frac{8\times1{,}38\times10^{-23}\times298}{\pi\times6{,}64\times10^{-26}}} \approx 3{,}97\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Determinar a seção de choque \sigma. Para átomos de argônio, o diâmetro típico é d\approx3{,}4\times10^{-10}\\ \mathrm{m}, então
\sigma = \pi\,d^{2} = \pi\,(3{,}4\times10^{-10})^{2} \approx 3{,}63\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Calcular a frequência de colisão Z. Substituindo em
Z = \sqrt{2}\,n\,\sigma\,\bar v
os valores obtidos:
Z \approx 1{,}414 \times (2{,}46\times10^{25}) \times (3{,}63\times10^{-19}) \times (3{,}97\times10^{2}) \approx 5{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Resposta

O átomo de argônio faz aproximadamente 5\times10^{9} colisões em 1{,}0\\ \mathrm{s}.

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