DETERMINE A PRIMITIVA E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) da função
. - Verificar a primitiva encontrada derivando-a e mostrando que volta à função original.
Informações fornecidas:
- A integral é indefinida:
. - Deve ser incluida a constante de integração
na primitiva.
Passo 2
Primeira ideia prática: usar a linearidade da integral — isto é, a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
Isso nos permite tratar cada termo separadamente, o que simplifica muito o cálculo.
Passo 3
Integral do termo exponencial:
.
Fórmula/ideia usada: a função exponencial
é especial porque sua derivada é ela mesma; portanto a sua primitiva também é ela mesma, salvo uma constante. Logo:
(Depois adicionaremos a constante geral
.)
Passo 4
Integral do termo em potência:
.
Vamos aplicar o “regra da potência” para integrais: para todo
,
Aqui
, que não é
, então a regra vale. Primeiro colocamos a constante
fora da integral:
Agora aplicamos a regra da potência com
:
Calculemos os expoentes e o denominador:
Então
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
. Portanto
Multiplicando pela constante externa
:
Passo 5
Juntando os resultados dos dois termos (ver Passos 3 e 4) e adicionando a constante de integração
, a primitiva geral é
Passo 6
Verificação por diferenciação: devemos mostrar que
.
Derivando termo a termo:
-
- Para o segundo termo, usar a regra da potência na diferenciação: se
então . Aqui , então
Simplificando os coeficientes:
E o expoente:
Logo
Somando as derivadas:
que é exatamente a função integranda. Isso confirma que a primitiva encontrada está correta.