DETERMINE A PRIMITIVA E VERIFIQUE DERIVANDO
\int\left[e^{x}+\frac{1}{3} x^{-\frac{1}{5}}\right] d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) da função \;e^{x}+\dfrac{1}{3}x^{-\tfrac{1}{5}}\;.
  • Verificar a primitiva encontrada derivando-a e mostrando que volta à função original.
Informações fornecidas:
  • A integral é indefinida: \displaystyle \int\left[e^{x}+\frac{1}{3} x^{-\frac{1}{5}}\right]dx.
  • Deve ser incluida a constante de integração C na primitiva.

Passo 2

Primeira ideia prática: usar a linearidade da integral — isto é, a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
\int\left[e^{x}+\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{5}}\right]dx = \int e^{x}\,dx+\int \frac{1}{3}x^{-\frac{1}{5}}\,dx.
Isso nos permite tratar cada termo separadamente, o que simplifica muito o cálculo.

Passo 3

Integral do termo exponencial: \int e^{x}\,dx.
Fórmula/ideia usada: a função exponencial e^{x} é especial porque sua derivada é ela mesma; portanto a sua primitiva também é ela mesma, salvo uma constante. Logo:
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
(Depois adicionaremos a constante geral C.)

Passo 4

Integral do termo em potência: \displaystyle \int \frac{1}{3}x^{-\frac{1}{5}}\,dx.
Vamos aplicar o “regra da potência” para integrais: para todo n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
Aqui n=-\tfrac{1}{5}, que não é -1, então a regra vale. Primeiro colocamos a constante \dfrac{1}{3} fora da integral:
\int \frac{1}{3}x^{-\frac{1}{5}}\,dx = \frac{1}{3}\int x^{-\frac{1}{5}}\,dx.
Agora aplicamos a regra da potência com n=-\tfrac{1}{5}:
\int x^{-\frac{1}{5}}\,dx = \frac{x^{-\frac{1}{5}+1}}{-\frac{1}{5}+1}.
Calculemos os expoentes e o denominador:
-\tfrac{1}{5}+1 = \tfrac{4}{5}.
Então
\int x^{-\frac{1}{5}}\,dx = \frac{x^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}}.
Dividir por \frac{4}{5} é o mesmo que multiplicar por \frac{5}{4}. Portanto
\int x^{-\frac{1}{5}}\,dx = \frac{5}{4}\,x^{\frac{4}{5}}.
Multiplicando pela constante externa \frac{1}{3}:
\frac{1}{3}\int x^{-\frac{1}{5}}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{5}{4}\,x^{\frac{4}{5}} = \frac{5}{12}\,x^{\frac{4}{5}}.

Passo 5

Juntando os resultados dos dois termos (ver Passos 3 e 4) e adicionando a constante de integração C, a primitiva geral é
F(x)=e^{x}+\frac{5}{12}\,x^{\frac{4}{5}}+C.

Passo 6

Verificação por diferenciação: devemos mostrar que F'(x)=e^{x}+\dfrac{1}{3}x^{-\tfrac{1}{5}}.
Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\big(e^{x}\big)=e^{x}.
  • Para o segundo termo, usar a regra da potência na diferenciação: se g(x)=x^{m} então g'(x)=m x^{m-1}. Aqui m=\tfrac{4}{5}, então
\frac{d}{dx}\left(\frac{5}{12}x^{\frac{4}{5}}\right) = \frac{5}{12}\cdot\frac{4}{5}x^{\frac{4}{5}-1}.
Simplificando os coeficientes:
\frac{5}{12}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}.
E o expoente:
\frac{4}{5}-1=-\frac{1}{5}.
Logo
\frac{d}{dx}\left(\frac{5}{12}x^{\frac{4}{5}}\right)=\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{5}}.
Somando as derivadas:
F'(x)=e^{x}+\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{5}},
que é exatamente a função integranda. Isso confirma que a primitiva encontrada está correta.

Resposta

e^{x}+\frac{5}{12}\,x^{\frac{4}{5}}+C