Determine q(x) e r(x) tais que
f(x)=q(x) g(x)+r(x)
onde r(x)=0 ou \partial r(x)<\partial g(x) e f(x), g(x) \in \mathbb{R}[x].
f(x)=x^{5}-1, g(x)=x-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar polinômios q(x) e r(x) tais que
f(x)=q(x)\,g(x)+r(x)
com r(x)=0 ou \partial r(x)<\partial g(x). Os polinômios dados são
f(x)=x^{5}-1,\qquad g(x)=x-1.
Ou seja: dividir f(x) por g(x)=x-1 e obter o quociente q(x) e o resto r(x).

Passo 2

Vou lembrar rapidamente a ideia que usamos aqui (de forma bem didática): para dividir um polinômio por um polinômio linear x-a existe um teorema prático — o Teorema do Resto — que diz que o resto da divisão de f(x) por x-a é exatamente f(a). Ou seja, se dividimos por x-1, o resto será f(1). Isso é muito útil para decidir se o resto é zero ou não antes de fazer a divisão completa.
Explicando o porquê do Teorema do Resto de um jeito simples: se f(x)=q(x)(x-a)+r e r é uma constante (porque o grau do resto deve ser menor que o grau de x-a, logo \deg r = 0), então avaliando em x=a fica f(a)=q(a)\cdot 0 + r = r. Logo r=f(a). Pronto — resto encontrado.

Passo 3

Aplicando o Teorema do Resto para g(x)=x-1, calculamos o restante:
r=f(1)=1^{5}-1=1-1=0.
Portanto o resto é r(x)=0. Isso significa que x-1 divide exatamente x^{5}-1.

Passo 4

Agora precisamos encontrar o quociente q(x). Há duas maneiras bem simples: (A) usar a identidade da diferença de potências, ou (B) fazer divisão sintética. Vou mostrar a identidade, que é curta e elegante.
Identidade (diferença de potências): para qualquer inteiro n\ge 1 vale
a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right).
No caso b=1 e n=5 temos
x^{5}-1 = (x-1)\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right).
Isso já nos dá diretamente o quociente
q(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1.

Passo 5

Para ficar ainda mais claro (e prático para a prova), mostro também a verificação por multiplicação: multiplicamos (x-1) pelo candidato q(x) e verificamos que recuperamos f(x).
Calcule:
(x-1)\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x - \bigl(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr).
Agrupando termos semelhantes nota-se que todos os termos internos se cancelam por pares, sobrando
x^{5}-1,
o que confirma que a multiplicação dá exatamente f(x). Portanto a divisão está correta.

Passo 6

Como alternativa operacional ensino a divisão sintética (útil em prova rápida): escrevemos os coeficientes de f(x)=x^{5}+0x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+0x-1 que são (1,0,0,0,0,-1) e usamos o valor 1 (raiz de x-1):
  • Trago o 1 (primeiro coeficiente) para baixo: 1.
  • Multiplico por 1: 1. Somo ao próximo coeficiente 0: obtém 1.
  • Multiplico 1 por 1: 1. Somo ao próximo 0: obtém 1.
  • Repito: obtenho sequência 1,1,1,1,1 para coeficientes do quociente e resto final 0.
Ou seja, os coeficientes do quociente são (1,1,1,1,1) correspondendo a x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1, e o resto é 0. Isso confirma novamente o resultado.

Resposta

q(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1
r(x)=0