Determine
e
tais que
onde
ou
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar polinômios
e
tais que
com
ou
. Os polinômios dados são
Ou seja: dividir
por
e obter o quociente
e o resto
.
Passo 2
Vou lembrar rapidamente a ideia que usamos aqui (de forma bem didática): para dividir um polinômio por um polinômio linear
existe um teorema prático — o Teorema do Resto — que diz que o resto da divisão de
por
é exatamente
. Ou seja, se dividimos por
, o resto será
. Isso é muito útil para decidir se o resto é zero ou não antes de fazer a divisão completa.
Explicando o porquê do Teorema do Resto de um jeito simples: se
e
é uma constante (porque o grau do resto deve ser menor que o grau de
, logo
), então avaliando em
fica
. Logo
. Pronto — resto encontrado.
Passo 3
Aplicando o Teorema do Resto para
, calculamos o restante:
Portanto o resto é
. Isso significa que
divide exatamente
.
Passo 4
Agora precisamos encontrar o quociente
. Há duas maneiras bem simples: (A) usar a identidade da diferença de potências, ou (B) fazer divisão sintética. Vou mostrar a identidade, que é curta e elegante.
Identidade (diferença de potências): para qualquer inteiro
vale
No caso
e
temos
Isso já nos dá diretamente o quociente
Passo 5
Para ficar ainda mais claro (e prático para a prova), mostro também a verificação por multiplicação: multiplicamos
pelo candidato
e verificamos que recuperamos
.
Calcule:
Calcule:
Agrupando termos semelhantes nota-se que todos os termos internos se cancelam por pares, sobrando
o que confirma que a multiplicação dá exatamente
. Portanto a divisão está correta.
Passo 6
Como alternativa operacional ensino a divisão sintética (útil em prova rápida): escrevemos os coeficientes de
que são
e usamos o valor
(raiz de
):
- Trago o
(primeiro coeficiente) para baixo: . - Multiplico por
: . Somo ao próximo coeficiente : obtém . - Multiplico
por : . Somo ao próximo : obtém . - Repito: obtenho sequência
para coeficientes do quociente e resto final .
Ou seja, os coeficientes do quociente são
correspondendo a
, e o resto é
. Isso confirma novamente o resultado.