Determine quantitativamente o momento de inércia da superfície sombreada de base b e altura h em relação (a) ao eixo y, Iy, (b) ao eixo x, Ix. Obs.: No item (b), use a relação d Ix=y^2 (y d a) / 3=y^3 d x / 3, conforme visto em sala.

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos uma lâmina triangular de base e altura (o vértice direito no eixo vertical e o vértice esquerdo na origem), e quer saber o momento de inércia dessa área em relação ao eixo (vertical passando pela base) e ao eixo (horizontal, isto é, a própria base).
Isso é um problema de “momento de inércia de área” via integração. Vamos precisar:
  1. A equação da reta que limita o triângulo, .
  2. Elemento de área .
  3. A integral de para .
  4. A relação dada em sala para .

Passo 2

Teoria básica:
  • O momento de inércia em relação ao eixo Iy=integral x^2,dA, é
dA=y(x),dx
onde dIx=y^33,dx, é um retângulo vertical de altura e espessura , ou seja
  • Já para o eixo usar o “macete”
como dado.

Passo 3

Cálculo de Iy=integral0^bx^2,y(x),dx =integral0^bx^2;hl(1-tfracxbr),dx =hintegral0^bl(x^2-tfracx^3br),dx :
  1. Escrevo integral0^bx^2,dx=b^33, integral0^bx^3,dx=b^44 .
  2. Logo
Iy =hl(tfracb^33-tfrac1b,tfracb^44r) =hl(tfracb^33-tfracb^34r) =h,b^3l(tfrac13-tfrac14r) =b^3,h12
  1. Faço a integral:
  1. Portanto

Passo 4

Cálculo de Ix=integral0^bl[hl(1-tfracxbr)r]^33,dx =h^33integral0^bl(1-tfracxbr)^3dx :
  1. Usando integral0^bl(1-tfracxbr)^3dx =bintegral0^1(1-t)^3dt =bcdot14 =b4 e Ix =h^33,b4 =b,h^312 :
  1. Troco variável: , , e vai de 0 a 1:
  1. Logo

Resposta

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