Determine quantitativamente o momento de inércia da superfície sombreada de base
e altura
em relação (a) ao eixo
, (b) ao eixo
. Obs.: No item (b), use a relação
, conforme visto em sala.
Passo 1
Então, o enunciado diz que temos uma lâmina triangular de base
e altura
(o vértice direito no eixo vertical e o vértice esquerdo na origem), e quer saber o momento de inércia dessa área em relação ao eixo
(vertical passando pela base) e ao eixo
(horizontal, isto é, a própria base).
Isso é um problema de “momento de inércia de área” via integração. Vamos precisar:
Isso é um problema de “momento de inércia de área” via integração. Vamos precisar:
- A equação da reta que limita o triângulo,
. - Elemento de área
. - A integral de
para . - A relação dada em sala
para .
Passo 2
Teoria básica:
- O momento de inércia em relação ao eixo
é
onde
é um retângulo vertical de altura
e espessura
, ou seja
- Já para o eixo
usar o “macete”
como dado.
Passo 3
Cálculo de
:
- Escrevo
. - Logo
- Faço a integral:
- Portanto
Passo 4
Cálculo de
:
- Usando
e :
- Troco variável:
, , e vai de 0 a 1:
- Logo