Uma corrente flexível e uniforme possui comprimento L. Sua densidade linear (ou seja, seu peso por unidade comprimento) vale lambda. A corrente passa sobre uma roldana sem atrito e de massa desprezível. Ela é liberada da posição de repouso, pendendo para um lado com um comprimento x e para o outro com comprimento L-x, Determine a aceleração a em função de x.

Passo 1

Beleza, vamos resumir a parada. Temos uma corrente uniforme de comprimento e densidade linear . Ela passa por uma roldana sem atrito nem massa, com um pedaço de comprimento de um lado e do outro. A questão é: quando soltar a corrente, qual é a aceleração em função de ?
Conteúdo: dinâmica de corpo/polias (tipo “Atwood”). Vamos usar Lei de Newton e modelar cada lado da corrente como uma massa pendurada.

Passo 2

Primeiro, represente cada lado da corrente como uma “massa”:
  • lado 1 (comprimento m1 = lambda , x ): m2 = lambda , (L - x)
  • lado 2 (comprimento ):
Aqui a gente supõe que o lado de comprimento maior desce.

Passo 3

Agora aplica a segunda lei de Newton ao sistema todo (a corrente é única, mas o desequilíbrio de peso gera aceleração). A força resultante é a diferença dos pesos:
Fres = m1 g - m2 g = lambda x,g - lambda (L - x),g = lambda g,(2x - L)
A massa total da corrente é
mtot = m1 + m2 = lambda x + lambda (L - x) = lambda L

Passo 4

Pela segunda lei:
Fres = mtot , a Longrightarrow lambda g (2x - L) = lambda L , a
Isola a = lambda g (2x - L)lambda L = (2x - L),gL :

Resposta

boxeda(x) = (2x - L),gL
Isso significa que, se , o lado “ ” desce ( no sentido que definimos), e se , o outro lado desce ( ).

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