Determine as raízes das equações abaixo:
2 x^{2}-2=0

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática abaixo e pede suas raízes:
2x^{2}-2=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é do tipo quadrático (termo em x^{2}, sem termo em x e termo constante).
  • A incógnita é x.
    O que se pede:
  • Determinar todos os valores de x que tornam verdadeira a igualdade acima (as raízes da equação).

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: simplificar a equação dividindo ambos os lados por 2. Isso é permitido porque 2\neq0 e dividir por um número não nulo preserva a equivalência da equação. Aplicando:
\frac{2x^{2}-2}{2}= \frac{0}{2}
o que dá
x^{2}-1=0.
Explicação didática: dividir a equação por 2 torna os coeficientes menores e facilita reconhecer padrões; é uma técnica comum para simplificar quadráticas quando todos os termos têm um fator comum.

Passo 3

Reconhecer a forma \,x^{2}-1. Isto é uma diferença de quadrados, que tem a identidade algébrica:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer expressões. Aqui, a=x e b=1, pois x^{2}-1^{2}=x^{2}-1. Aplicando a identidade:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
A diferença de quadrados é uma fatoração muito útil em provas: ela transforma um polinômio quadrático em um produto de dois fatores lineares, o que facilita encontrar as raízes.

Passo 4

A equação fatorada ficou
(x-1)(x+1)=0.
Propriedade fundamental de produtos: um produto de dois fatores é igual a zero se e somente se pelo menos um dos fatores for zero. Assim, para que (x-1)(x+1)=0 ocorra, deve valer
x-1=0 \quad\text{ou}\quad x+1=0.
Observação didática: essa é a razão pela qual fatorar é útil na resolução de equações polinomiais — reduz o problema a equações lineares simples.

Passo 5

Resolver cada equação linear obtida:
x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=1,
x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1.
Esses são os valores de x que satisfazem a equação original. Pequeno incentivo: já estamos quase lá — duas linhas de conta e pronto!

Passo 6

Como verificação e para ensinar outra técnica usada em provas, aplico a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara) à equação original 2x^{2}-2=0. Para uma quadrática \,ax^{2}+bx+c=0, as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \Delta=b^{2}-4ac,
onde a, b e c são os coeficientes. Aqui temos a=2, b=0 e c=-2. Calculando o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=0^{2}-4\cdot 2\cdot(-2)=16.
Então
x=\frac{-0\pm\sqrt{16}}{2\cdot 2}=\frac{\pm 4}{4}=\pm 1,
confirmando as soluções encontradas antes. Comentário didático: usar Bhaskara é um método universal para qualquer equação quadrática; quando b=0 e há diferença de quadrados, a fatoração costuma ser mais rápida.

Resposta

x=1
x=-1