Determine as raízes das equações abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação quadrática abaixo e pede suas raízes:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é do tipo quadrático (termo em
, sem termo em e termo constante). - A incógnita é
.
O que se pede: - Determinar todos os valores de
que tornam verdadeira a igualdade acima (as raízes da equação).
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: simplificar a equação dividindo ambos os lados por
. Isso é permitido porque
e dividir por um número não nulo preserva a equivalência da equação. Aplicando:
o que dá
Explicação didática: dividir a equação por
torna os coeficientes menores e facilita reconhecer padrões; é uma técnica comum para simplificar quadráticas quando todos os termos têm um fator comum.
Passo 3
Reconhecer a forma
. Isto é uma diferença de quadrados, que tem a identidade algébrica:
onde
e
são quaisquer expressões. Aqui,
e
, pois
. Aplicando a identidade:
A diferença de quadrados é uma fatoração muito útil em provas: ela transforma um polinômio quadrático em um produto de dois fatores lineares, o que facilita encontrar as raízes.
Passo 4
A equação fatorada ficou
Propriedade fundamental de produtos: um produto de dois fatores é igual a zero se e somente se pelo menos um dos fatores for zero. Assim, para que
ocorra, deve valer
Observação didática: essa é a razão pela qual fatorar é útil na resolução de equações polinomiais — reduz o problema a equações lineares simples.
Passo 5
Resolver cada equação linear obtida:
Esses são os valores de
que satisfazem a equação original. Pequeno incentivo: já estamos quase lá — duas linhas de conta e pronto!
Passo 6
Como verificação e para ensinar outra técnica usada em provas, aplico a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara) à equação original
. Para uma quadrática
, as raízes são
onde
,
e
são os coeficientes. Aqui temos
,
e
. Calculando o discriminante:
Então
confirmando as soluções encontradas antes. Comentário didático: usar Bhaskara é um método universal para qualquer equação quadrática; quando
e há diferença de quadrados, a fatoração costuma ser mais rápida.