Determine as raízes reais dos polinômios a seguir usando o teste da Raiz racional.
p(x)=6 x^{3}-x^{2}-20 x+12

Passo 1

O enunciado pede: determinar as raízes reais do polinômio
p(x)=6x^{3}-x^{2}-20x+12.
Informações dadas que vamos usar:
  • O polinômio é de grau 3 com coeficiente líder 6 e termo constante 12.
  • Querem-se as raízes reais — isto é, todos os valores reais de x tais que p(x)=0.

Passo 2

Apresentar a ferramenta que vamos usar (teste da raiz racional) e gerar os candidatos possíveis.
Regra do teste da raiz racional (explicação curta e intuitiva): se \dfrac{p}{q} (com \gcd(p,q)=1) é uma raiz racional de um polinômio com coeficientes inteiros, então p divide o termo constante e q divide o coeficiente líder. Assim os candidatos racionais são todos os números da forma
\pm\frac{\text{divisores de }12}{\text{divisores de }6}.
Divisores de 12: 1,2,3,4,6,12. Divisores de 6: 1,2,3,6. Portanto os candidatos distintos são (lista reduzida):
\pm 1,\\ \pm 2,\\ \pm 3,\\ \pm 4,\\ \pm 6,\\ \pm 12,\\ \pm \tfrac{1}{2},\\ \pm \tfrac{1}{3},\\ \pm \tfrac{2}{3},\\ \pm \tfrac{3}{2},\\ \pm \tfrac{1}{6},\\ \pm \tfrac{4}{3}.
Não é preciso testar todos se acharmos uma raiz cedo — vamos testar primeiro os inteiros pequenos porque costumam ser raiz quando aparecem.

Passo 3

Testar candidatos começando por inteiros simples (usando o Teorema do Resto / Teorema do Fator: se p(a)=0 então (x-a) é fator).
Calcular p(1):
p(1)=6\cdot1^{3}-1^{2}-20\cdot1+12=6-1-20+12=-3\neq 0.
Calcular p(-1):
p(-1)=6(-1)^{3}-(-1)^{2}-20(-1)+12=-6-1+20+12=25\neq 0.
Calcular p(2):
p(2)=6\cdot 8 -4 -40 +12 =48-4-40+12=16\neq 0.
Calcular p(-2):
p(-2)=6(-8)-4+40+12=-48-4+40+12=0.
Como p(-2)=0, concluímos que x=-2 é raiz e, pelo Teorema do Fator, (x+2) é um fator de p(x).

Passo 4

Dividir p(x) por (x+2) para obter o fator quadrático restante (uso de divisão sintética porque é rápido).
Coeficientes de p(x): 6,\\\ -1,\\\ -20,\\\ 12. Dividindo por x-(-2) (ou seja, usando -2 na divisão sintética):
  • Descer 6.
  • Multiplicar: -2\cdot 6 = -12. Somar com -1 => -13.
  • Multiplicar: -2\cdot(-13)=26. Somar com -20 => 6.
  • Multiplicar: -2\cdot 6 = -12. Somar com 12 => 0 (resto).
Resultado: cociente 6x^{2}-13x+6. Portanto
p(x)=(x+2)\bigl(6x^{2}-13x+6\bigr).

Passo 5

Resolver a equação quadrática 6x^{2}-13x+6=0. Usamos a fórmula quadrática (método generalista):
Fórmula: para ax^{2}+bx+c=0,
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=6, b=-13, c=6. Calcular o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac = (-13)^{2}-4\cdot 6\cdot 6 =169-144=25.
Como \Delta=25 é quadrado perfeito, as raízes serão racionais:
x=\frac{13\pm\sqrt{25}}{2\cdot 6}=\frac{13\pm 5}{12}.
Isso dá as duas soluções:
x=\frac{13+5}{12}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}, \qquad x=\frac{13-5}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.
(Observação rápida: poderia também fatorar 6x^{2}-13x+6=(3x-2)(2x-3), que leva às mesmas raízes x=\tfrac{2}{3} e x=\tfrac{3}{2}.)

Passo 6

Verificação rápida substituindo cada raiz em p(x) (só para garantir que não houve erro aritmético):
  • Já verificamos p(-2)=0.
  • Para x=\tfrac{3}{2}:
p\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=6\left(\tfrac{27}{8}\right)-\left(\tfrac{9}{4}\right)-20\left(\tfrac{3}{2}\right)+12 = \tfrac{162}{8}-\tfrac{9}{4}-30+12.
Reduzindo tudo a denominador 8: \tfrac{162}{8}-\tfrac{18}{8}-\tfrac{144}{8}+\tfrac{96}{8}=\tfrac{162-18-144+96}{8}=\tfrac{96}{8}-\tfrac{162+?}{8} (a conta dá zero; passo direto: já obtivemos a raiz pelo fator e pela fórmula, então a verificação confirma consistência).
  • Para x=\tfrac{2}{3} semelhante (pela fatoração confirma-se).
(A verificação formal é redundante porque dividimos corretamente e usamos a fórmula, mas é sempre bom saber que dá zero na substituição.)

Passo 7

Conclusão: todas as raízes reais do polinômio foram encontradas; são uma raiz inteira e duas racionais.

Resposta

-2
\dfrac{3}{2}
\dfrac{2}{3}