Determine as raízes reais dos polinômios a seguir usando o teste da Raiz racional.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as raízes reais do polinômio
Informações dadas que vamos usar:
- O polinômio é de grau
com coeficiente líder e termo constante . - Querem-se as raízes reais — isto é, todos os valores reais de
tais que .
Passo 2
Apresentar a ferramenta que vamos usar (teste da raiz racional) e gerar os candidatos possíveis.
Regra do teste da raiz racional (explicação curta e intuitiva): se
(com
) é uma raiz racional de um polinômio com coeficientes inteiros, então
divide o termo constante e
divide o coeficiente líder. Assim os candidatos racionais são todos os números da forma
Divisores de
:
. Divisores de
:
. Portanto os candidatos distintos são (lista reduzida):
Não é preciso testar todos se acharmos uma raiz cedo — vamos testar primeiro os inteiros pequenos porque costumam ser raiz quando aparecem.
Passo 3
Testar candidatos começando por inteiros simples (usando o Teorema do Resto / Teorema do Fator: se
então
é fator).
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Como
, concluímos que
é raiz e, pelo Teorema do Fator,
é um fator de
.
Passo 4
Dividir
por
para obter o fator quadrático restante (uso de divisão sintética porque é rápido).
Coeficientes de
:
. Dividindo por
(ou seja, usando
na divisão sintética):
- Descer
. - Multiplicar:
. Somar com => . - Multiplicar:
. Somar com => . - Multiplicar:
. Somar com => (resto).
Resultado: cociente
. Portanto
Passo 5
Resolver a equação quadrática
. Usamos a fórmula quadrática (método generalista):
Fórmula: para
,
onde
,
,
. Calcular o discriminante:
Como
é quadrado perfeito, as raízes serão racionais:
Isso dá as duas soluções:
(Observação rápida: poderia também fatorar
, que leva às mesmas raízes
e
.)
Passo 6
Verificação rápida substituindo cada raiz em
(só para garantir que não houve erro aritmético):
- Já verificamos
. - Para
:
Reduzindo tudo a denominador
:
(a conta dá zero; passo direto: já obtivemos a raiz pelo fator e pela fórmula, então a verificação confirma consistência).
- Para
semelhante (pela fatoração confirma-se).
(A verificação formal é redundante porque dividimos corretamente e usamos a fórmula, mas é sempre bom saber que dá zero na substituição.)
Passo 7
Conclusão: todas as raízes reais do polinômio foram encontradas; são uma raiz inteira e duas racionais.