Determine a representação por integral de Fourier da função indicada.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & x<0 \\\ e^{-x}, & x>0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes e pede sua representação por integral de Fourier. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
  • A função é
f(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] e^{-x}, & x>0. \end{cases}
(Valor em x=0 não foi especificado; isso não impede a representação por integral, que determina o valor no ponto de descontinuidade pela média dos limites laterais se necessário.)
  • O pedido é: escrever f(x) como uma integral de Fourier (forma complexa e/ou forma com cosseno e seno), isto é, encontrar uma expressão do tipo
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega
ou a versão em termos de cosseno e seno equivalente.]

Passo 2

Vou lembrar a definição e a ideia: a transformada de Fourier F(\omega) de f(x) é
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Em seguida a fórmula inversa (representação por integral de Fourier) é
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)\,e^{i\omega x}\,d\omega.
Essas fórmulas são fundamentais: F(\omega) codifica as frequências presentes em f e a integral inversa reconstrói f.

Passo 3

Como f(t)=0 para t<0 e f(t)=e^{-t} para t>0, a transformada F(\omega) reduz-se ao integral em t\in(0,\infty). Calcular:
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,e^{-i\omega t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(1+i\omega)t}\,dt.
Esse é um integral exponencial simples, que converge porque \Re(1+i\omega)=1>0. Aplicando a fórmula do integral exponencial:
\int_{0}^{\infty} e^{-at}\,dt=\frac{1}{a}\quad(\Re a>0),
com a=1+i\omega, obtemos
F(\omega)=\frac{1}{1+i\omega}.

Passo 4

Agora escrevo a representação inversa direta (forma complexa): pela fórmula inversa,
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+i\omega}\,e^{i\omega x}\,d\omega.
Essa é uma representação válida para toda x (interpreta-se adequadamente no ponto x=0); avaliando essa integral por métodos de integrais impróprias/contorno obtém-se a função original, com o comportamento à direita e à esquerda apropriado. Essa expressão já é uma resposta válida como representação por integral de Fourier.

Passo 5

Para ficar mais explícito e em função de integrais de cosseno e seno (útil em provas), vou manipular a forma acima separando partes real/ímaginária. Primeiro reescrevo
\frac{1}{1+i\omega}=\frac{1-i\omega}{1+\omega^{2}}.
Multiplicando por e^{i\omega x}=\cos(\omega x)+i\sin(\omega x) e extraindo a parte real (que é a que contribui para f(x) real), obtemos o integrando real
\Re\!\left(\frac{1}{1+i\omega}e^{i\omega x}\right)=\frac{1}{1+\omega^{2}}\cos(\omega x)+\frac{\omega}{1+\omega^{2}}\sin(\omega x).
Como essa função de \omega é par (mesma para \omega e -\omega), pode-se reduzir a integral em (-\infty,\infty) para 2 vezes a integral em (0,\infty). Assim
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+i\omega}e^{i\omega x}\,d\omega =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+\omega^{2}}\cos(\omega x)+\frac{\omega}{1+\omega^{2}}\sin(\omega x)\right)d\omega.

Passo 6

Resumo didático do que foi feito e como usar isso na prova:
  • Primeiro, identificar que a transformada de Fourier reduz ao integral em t>0 porque f(t)=0 para t<0.
  • Calcular F(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-(1+i\omega)t}\,dt=\dfrac{1}{1+i\omega}.
  • Aplicar a fórmula inversa para escrever f como integral complexa.
  • Se desejado, separar em cosseno e seno usando \dfrac{1}{1+i\omega}=\dfrac{1-i\omega}{1+\omega^2} e e^{i\omega x}=\cos(\omega x)+i\sin(\omega x), e usar simetria para reduzir a integral a (0,\infty).
Essas etapas são diretas e rápidas de fazer numa prova: calcular o integral exponencial, inserir na fórmula inversa e, se pedirem expressão real, fazer a separação em cosseno/seno.

Resposta

f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+i\omega}\,e^{i\omega x}\,d\omega
f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+\omega^{2}}\cos(\omega x)+\frac{\omega}{1+\omega^{2}}\sin(\omega x)\right)\,d\omega