Determine a representação por integral de Fourier da função indicada.
Passo 1
O enunciado dá uma função definida por partes e pede sua representação por integral de Fourier. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
- A função é
(Valor em
não foi especificado; isso não impede a representação por integral, que determina o valor no ponto de descontinuidade pela média dos limites laterais se necessário.)
- O pedido é: escrever
como uma integral de Fourier (forma complexa e/ou forma com cosseno e seno), isto é, encontrar uma expressão do tipo
ou a versão em termos de cosseno e seno equivalente.]
Passo 2
Vou lembrar a definição e a ideia: a transformada de Fourier
de
é
Em seguida a fórmula inversa (representação por integral de Fourier) é
Essas fórmulas são fundamentais:
codifica as frequências presentes em
e a integral inversa reconstrói
.
Passo 3
Como
para
e
para
, a transformada
reduz-se ao integral em
. Calcular:
Esse é um integral exponencial simples, que converge porque
. Aplicando a fórmula do integral exponencial:
com
, obtemos
Passo 4
Agora escrevo a representação inversa direta (forma complexa): pela fórmula inversa,
Essa é uma representação válida para toda
(interpreta-se adequadamente no ponto
); avaliando essa integral por métodos de integrais impróprias/contorno obtém-se a função original, com o comportamento à direita e à esquerda apropriado. Essa expressão já é uma resposta válida como representação por integral de Fourier.
Passo 5
Para ficar mais explícito e em função de integrais de cosseno e seno (útil em provas), vou manipular a forma acima separando partes real/ímaginária. Primeiro reescrevo
Multiplicando por
e extraindo a parte real (que é a que contribui para
real), obtemos o integrando real
Como essa função de
é par (mesma para
e
), pode-se reduzir a integral em
para
vezes a integral em
. Assim
Passo 6
Resumo didático do que foi feito e como usar isso na prova:
- Primeiro, identificar que a transformada de Fourier reduz ao integral em
porque para . - Calcular
. - Aplicar a fórmula inversa para escrever
como integral complexa. - Se desejado, separar em cosseno e seno usando
e , e usar simetria para reduzir a integral a .
Essas etapas são diretas e rápidas de fazer numa prova: calcular o integral exponencial, inserir na fórmula inversa e, se pedirem expressão real, fazer a separação em cosseno/seno.