Determine a resposta ao impulso e a resposta ao degrau para os seguintes sistemas:
4 \frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}=2 x(t)-\frac{d x(t)}{d t}

Passo 1

O sistema é descrito pela equação diferencial linear e invariante no tempo
4\,\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} \;=\; 2\,x(t)\;-\;\frac{d\,x(t)}{dt},
com condições iniciais nulas. Queremos a resposta ao impulso h(t) (saída para x(t)=\delta(t)) e a resposta ao degrau s(t) (saída para x(t)=u(t)). A ferramenta que vamos usar é a transformada de Laplace.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace (com y(0^-)=y'(0^-)=0) obtemos
4\,s^{2}Y(s) \;=\;2\,X(s)\;-\;s\,X(s)
logo a função de transferência é
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)} =\frac{2 - s}{4\,s^{2}}.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações simples de H(s):
\frac{2 - s}{4\,s^{2}} =\frac{-1/4}{s}+\frac{1/2}{s^{2}}.
Invertendo a Laplace obtemos a resposta ao impulso
h(t) =-\tfrac{1}{4}\,u(t)+\tfrac12\,t\,u(t).

Passo 4

Para a resposta ao degrau, usamos X(s)=1/s. Então
Y(s)=H(s)\,\frac{1}{s} =\Bigl(\frac{-1/4}{s}+\frac{1/2}{s^{2}}\Bigr)\frac{1}{s} =\frac{1}{2\,s^{3}}-\frac{1}{4\,s^{2}}.
Invertendo a Laplace em cada termo:
\mathcal L^{-1}\!\bigl\{\tfrac{1}{2\,s^{3}}\bigr\} =\tfrac{t^{2}}{4}\,u(t), \quad \mathcal L^{-1}\!\bigl\{\tfrac{1}{4\,s^{2}}\bigr\} =\tfrac{t}{4}\,u(t).
Logo a resposta ao degrau é
s(t)=\Bigl(\tfrac{t^{2}}{4}-\tfrac{t}{4}\Bigr)u(t).

Resposta

h(t)= -\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}\,t,u(t)
s(t)= \tfrac{t^{2}}{4}-\tfrac{t}{4},u(t)

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