Determine a reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscisca x_{0} indicado.
y=\ln \left(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right), \quad x_{0}=0.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
y = \ln\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{1+x}{1-x}}\Bigr)
no ponto de abscissa x_{0}=0. Vamos usar derivada para obter o coeficiente angular e a forma ponto-reta.

Passo 2

Primeiro simplificamos a função usando \ln\sqrt{A} = \tfrac12\ln A:
y = \ln\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{1+x}{1-x}}\Bigr) = \tfrac12\bigl[\ln(1+x)-\ln(1-x)\bigr].

Passo 3

Calculamos a derivada usando \frac{d}{dx}\ln(1\pm x)=\pm\frac1{1\pm x}:
y' = \tfrac12\Bigl(\tfrac1{1+x} + \tfrac1{1-x}\Bigr) = \tfrac12\Bigl(\tfrac{1-x+1+x}{(1+x)(1-x)}\Bigr) = \tfrac1{1-x^2}.

Passo 4

No ponto x_{0}=0:
y(0) = \ln\!\bigl(\sqrt{1}\bigr)=0, \qquad y'(0)=\tfrac1{1-0^2}=1.

Passo 5

A equação da reta tangente em forma ponto-reta é \;y - y(0) = y'(0)\,(x - 0),
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y = x.

Resposta

A reta tangente é y = x.

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