Determine se as retas
e
são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se as retas
e
são paralelas, coincidentes ou se elas se cruzam em algum ponto. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre equações paramétricas de retas. Vamos precisar comparar os coeficientes das equações paramétricas para ver a relação entre as retas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das retas de forma mais clara:
Para
:
Para
:
Aqui,
e
são os parâmetros das retas.
Passo 3
Vamos entender as direções das retas. A direção de cada reta é dada pelos coeficientes dos parâmetros
e
.
Para
, o vetor diretor é
.
Para
, o vetor diretor é
.
Se os vetores diretores forem múltiplos um do outro, as retas são paralelas. Se, além disso, elas coincidirem, então são coincidentes; caso contrário, são paralelas.
Passo 4
Vamos verificar se existe um número
tal que:
Ou seja:
Resolvendo a primeira equação:
Agora, substituindo na segunda equação:
Então, as equações são consistentes, o que significa que
é múltiplo de
. Portanto, as retas são paralelas.
Passo 5
Agora, para saber se as retas são coincidentes ou apenas paralelas, precisamos verificar se elas têm algum ponto em comum.
Vamos igualar as equações paramétricas:
Resolvendo a primeira equação para
:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Resolvendo essa equação, encontramos valores para
e
. Entretanto, ao simplificar, notamos que não existe solução consistente, o que significa que as retas não têm pontos em comum além de serem paralelas.
Resposta
As retas
e
são paralelas e não coincidentes. Portanto, elas não se intersectam.