1. Determine as retas tangentes à curva y=x^{2} que passam no ponto (0,-1).

Passo 1

O enunciado pede as retas tangentes à parábola y = x^{2} que passam pelo ponto (0,-1). Vamos usar derivada para obter a inclinação da tangente em um ponto genérico da curva e depois impor que essa reta passe em (0,-1).

Passo 2

A derivada de y = x^{2} é
f'(x) = 2x,
logo, no ponto genérico (a,a^{2}) a inclinação da tangente é
m = 2a.

Passo 3

A equação da reta tangente em (a,a^{2}) com inclinação m=2a é
y - a^{2} = 2a\,(x - a).

Passo 4

Para que essa reta passe por (0,-1), substituímos x=0 e y=-1 em
y - a^{2} = 2a\,(x - a),
obtendo
-1 - a^{2} = 2a\,(0 - a) = -2a^{2}.
Assim
-1 - a^{2} = -2a^{2} \quad\Longrightarrow\quad -1 + a^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad a^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad a = \pm 1.

Passo 5

Para a=1, a reta fica
y - 1 = 2\,(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad y = 2x - 1.
Para a=-1, a reta fica
y - 1 = -2\,(x + 1) \quad\Longrightarrow\quad y = -2x - 1.

Resposta

As duas retas são y = 2x - 1
e y = -2x - 1.

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