Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições. Justifique sua resposta!
Sejam V um espaço vetorial e T: V V um operador linear. Se lambda é um número real tal que lambda^2 é um autovalor de T^2 associado ao autovetor u, então lambda^4 é um autovalor de T^4 associado ao autovetor u.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com espaços vetoriais e operadores lineares. A questão nos dá que lambda^2 é um autovalor de T^2 com autovetor u, e precisamos descobrir se lambda^4 é um autovalor de T^4 com o mesmo autovetor u. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como os autovalores e autovetores se comportam quando aplicamos potências de operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um autovalor e um autovetor. Se T é um operador linear e u é um vetor não nulo, então u é um autovetor de T associado ao autovalor mu se:
T(u) = mu u
Isso significa que aplicar T em u simplesmente escala u por mu.

Passo 3

Agora, sabemos que lambda^2 é um autovalor de T^2 com autovetor u. Aplicando a definição acima para T^2, temos:
T^2(u) = lambda^2 u
Isso quer dizer que aplicar T duas vezes em u resulta em escalar u por lambda^2.

Passo 4

Vamos ver o que acontece quando aplicamos T^4 em u. Sabemos que:
T^4(u) = T^2(T^2(u))
Como já sabemos que T^2(u) = lambda^2 u, podemos substituir:
T^4(u) = T^2(lambda^2 u)
Como T^2 é linear, podemos tirar o escalar lambda^2 de fora:
T^4(u) = lambda^2 T^2(u)
E sabemos que T^2(u) = lambda^2 u, então:
T^4(u) = lambda^2 cdot lambda^2 u = lambda^4 u

Passo 5

O que acabamos de descobrir é que:
T^4(u) = lambda^4 u
Isso significa que, ao aplicar T^4 em u, o resultado é escalar u por lambda^4. De acordo com a definição de autovalor e autovetor, isso mostra que lambda^4 é, de fato, um autovalor de T^4 associado ao autovetor u.

Resposta

A proposição é verdadeira.

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