Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições. Justifique sua resposta!
Sejam
um espaço vetorial e
um operador linear. Se
é um número real tal que
é um autovalor de
associado ao autovetor
, então
é um autovalor de
associado ao autovetor
.
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com espaços vetoriais e operadores lineares. A questão nos dá que
é um autovalor de
com autovetor
, e precisamos descobrir se
é um autovalor de
com o mesmo autovetor
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como os autovalores e autovetores se comportam quando aplicamos potências de operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um autovalor e um autovetor. Se
é um operador linear e
é um vetor não nulo, então
é um autovetor de
associado ao autovalor
se:
Isso significa que aplicar
em
simplesmente escala
por
.
Passo 3
Agora, sabemos que
é um autovalor de
com autovetor
. Aplicando a definição acima para
, temos:
Isso quer dizer que aplicar
duas vezes em
resulta em escalar
por
.
Passo 4
Vamos ver o que acontece quando aplicamos
em
. Sabemos que:
Como já sabemos que
, podemos substituir:
Como
é linear, podemos tirar o escalar
de fora:
E sabemos que
, então:
Passo 5
O que acabamos de descobrir é que:
Isso significa que, ao aplicar
em
, o resultado é escalar
por
. De acordo com a definição de autovalor e autovetor, isso mostra que
é, de fato, um autovalor de
associado ao autovetor
.
Resposta
A proposição é verdadeira.