Determine se o seguinte conjunto de vetores é L.I.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se um conjunto de três matrizes de
é linearmente independente (L.I.) no espaço
. Basicamente, vamos verificar se essas matrizes não podem ser escritas como combinações lineares umas das outras. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como combinações lineares e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar as matrizes do conjunto de
,
e
:
Para verificar a independência linear, vamos supor que exista uma combinação linear dessas matrizes igual a zero:
Aqui,
,
e
são escalares que queremos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos escrever essa combinação linear de forma detalhada:
Isso resulta em:
Passo 4
Para que as matrizes sejam iguais, cada entrada correspondente deve ser igual. Então, vamos obter um sistema de equações:
-
-
-
(já que as entradas das colunas são zero, não acrescenta nada)
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Passo 6
Então, temos que todas as soluções do sistema são da forma:
Isso significa que existe uma solução não trivial (ou seja, onde pelo menos um dos
's não é zero). Por exemplo, se
, então
e
.
Passo 7
Como existe uma solução diferente da trivial (todos os
iguais a zero), isso quer dizer que as matrizes
,
e
são linearmente dependentes.
Resposta
O conjunto de matrizes dado é linearmente dependente.