Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de
:
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que descobrir se o conjunto
é uma base para
. Isso pertence à matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre bases e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define uma base e verificar se nosso conjunto atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial, como
, é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Em outras palavras, qualquer vetor em
pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base, e nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação dos outros.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o número de vetores no nosso conjunto. Para
, precisamos de exatamente 4 vetores para formar uma base, já que a dimensão de
é 4. Isso significa que um conjunto com menos de 4 vetores não pode ser uma base, porque não conseguiria gerar todo o espaço. Nosso conjunto tem apenas 3 vetores, então, por enquanto, já sabemos que ele não pode ser uma base para
.
Passo 4
Além disso, mesmo que tivéssemos 4 vetores, precisaríamos verificar se eles são linearmente independentes. Para isso, poderíamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e verificar se o determinante é diferente de zero ou se o posto da matriz é 4. Mas, como já constatamos que nosso conjunto tem apenas 3 vetores, essa verificação adicional não é necessária.
Resposta
O conjunto
não é uma base de
porque possui apenas 3 vetores, e precisamos de 4 vetores para formar uma base nesse espaço.