Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R^4 :
(2,0,0,2),(1,1,0,0),(1,2,1,2).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que descobrir se o conjunto (2,0,0,2),(1,1,0,0),(1,2,1,2) é uma base para R^4. Isso pertence à matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre bases e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define uma base e verificar se nosso conjunto atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial, como R^4, é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Em outras palavras, qualquer vetor em R^4 pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base, e nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o número de vetores no nosso conjunto. Para R^4, precisamos de exatamente 4 vetores para formar uma base, já que a dimensão de R^4 é 4. Isso significa que um conjunto com menos de 4 vetores não pode ser uma base, porque não conseguiria gerar todo o espaço. Nosso conjunto tem apenas 3 vetores, então, por enquanto, já sabemos que ele não pode ser uma base para R^4.

Passo 4

Além disso, mesmo que tivéssemos 4 vetores, precisaríamos verificar se eles são linearmente independentes. Para isso, poderíamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e verificar se o determinante é diferente de zero ou se o posto da matriz é 4. Mas, como já constatamos que nosso conjunto tem apenas 3 vetores, essa verificação adicional não é necessária.

Resposta

O conjunto (2,0,0,2),(1,1,0,0),(1,2,1,2) não é uma base de R^4 porque possui apenas 3 vetores, e precisamos de 4 vetores para formar uma base nesse espaço.

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