Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau n, com n in N fixo.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau fixo n é um espaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar o que caracteriza um espaço vetorial e checar se esse conjunto atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, o que é um espaço vetorial? Basicamente, é um conjunto onde você pode somar dois elementos e multiplicar por um escalar, e essas operações seguem certas regras, como associatividade, existência do elemento neutro (zero), e outras propriedades que garantem a “estrutura” do espaço.

Passo 3

Agora, vamos focar nos polinômios de grau fixo n. Um polinômio desse tipo pode ser escrito como:
p(x) = a0 + a1x + a2x^2 + dots + anx^n
onde an neq 0. Ou seja, o termo de maior grau sempre está presente e não é zero.

Passo 4

Para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Vamos verificar cada uma dessas operações.

Passo 5

Adição: Se somarmos dois polinômios de grau n, o termo de maior grau ( x^n) vai se manter, já que a soma de dois números não nulos (os coeficientes de x^n) ainda é não nula. Portanto, a soma também será um polinômio de grau n. Parece que estamos ok até aqui.

Passo 6

Multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um polinômio de grau n por um escalar diferente de zero, o grau do polinômio permanece n. Mas e se o escalar for zero? A multiplicação por zero resultaria no polinômio nulo, que não tem grau definido, ou seja, não é de grau n.

Passo 7

Além disso, para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa conter o elemento zero (o polinômio nulo). Porém, no conjunto dos polinômios de grau fixo n, o polinômio nulo não está incluído, já que ele não possui grau definido.

Resposta

Com base nisso, o conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau fixo n não é um espaço vetorial, pois não satisfaz todas as propriedades necessárias, como a presença do elemento zero e a fechamento sob multiplicação por escalar quando o escalar é zero.

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