Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos vetores de R^n tais que a soma das suas componentes é 5 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se um certo conjunto é um espaço vetorial. Especificamente, estamos lidando com o conjunto de vetores em onde a soma das componentes de cada vetor é igual a 5. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um espaço vetorial e checar se esse conjunto atende a essas condições. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de obedecer a certas propriedades, deve conter o vetor zero (um vetor onde todas as componentes são zero) e ser fechado tanto na adição de vetores quanto na multiplicação por escalar.

Passo 3

Vamos verificar se o vetor zero está nesse conjunto. O vetor zero em é . A soma das suas componentes é . Mas, no nosso conjunto, a soma das componentes deve ser 5. Como , o vetor zero não está no conjunto.

Passo 4

Além disso, para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa ser fechado na adição de vetores. Isso significa que se você pegar dois vetores desse conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto. Suponha que temos dois vetores sum ui = 5 e sum vi = 5 e sum (ui + vi) = sum ui + sum vi = 5 + 5 = 10 com soma das componentes igual a 5:
Somando-os:
A soma das componentes de é 10, que não é igual a 5. Portanto, o conjunto não é fechado na adição.

Passo 5

Também precisamos verificar a multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se você multiplicar um vetor do conjunto por um número (escalar), o resultado também deve estar no conjunto. Tomemos um vetor sum (c cdot ui) = c cdot sum ui = c cdot 5 com soma das componentes igual a 5 e um escalar :
Para que esse resultado seja igual a 5, precisaríamos que , ou seja, . Mas isso só é verdade para , não para todos os escalares. Logo, o conjunto não é fechado na multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto não contém o vetor zero e não é fechado na adição nem na multiplicação por escalar, ele não é um espaço vetorial.

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