Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos vetores de
tais que a soma das suas componentes é 5 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se um certo conjunto é um espaço vetorial. Especificamente, estamos lidando com o conjunto de vetores em
onde a soma das componentes de cada vetor é igual a 5. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um espaço vetorial e checar se esse conjunto atende a essas condições. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de obedecer a certas propriedades, deve conter o vetor zero (um vetor onde todas as componentes são zero) e ser fechado tanto na adição de vetores quanto na multiplicação por escalar.
Passo 3
Vamos verificar se o vetor zero está nesse conjunto. O vetor zero em
é
. A soma das suas componentes é
. Mas, no nosso conjunto, a soma das componentes deve ser 5. Como
, o vetor zero não está no conjunto.
Passo 4
Além disso, para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa ser fechado na adição de vetores. Isso significa que se você pegar dois vetores desse conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto. Suponha que temos dois vetores
e
com soma das componentes igual a 5:
Somando-os:
A soma das componentes de
é 10, que não é igual a 5. Portanto, o conjunto não é fechado na adição.
Passo 5
Também precisamos verificar a multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se você multiplicar um vetor do conjunto por um número (escalar), o resultado também deve estar no conjunto. Tomemos um vetor
com soma das componentes igual a 5 e um escalar
:
Para que esse resultado seja igual a 5, precisaríamos que
, ou seja,
. Mas isso só é verdade para
, não para todos os escalares. Logo, o conjunto não é fechado na multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto não contém o vetor zero e não é fechado na adição nem na multiplicação por escalar, ele não é um espaço vetorial.