Determine se as seguintes funções são contínuas: g: R -> R, dada por g(x) = { sen(3x) / (3x) , se x ≠ 0; 1 , se x = 0 }

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o problema. A gente quer saber se a função , definida por
é contínua em todos os pontos. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade e verificar onde a função pode ter algum “pulo” ou descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando x se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para todo no domínio da função,
A gente precisa verificar isso para todos os pontos onde a função está definida. No nosso caso, a função está definida para todo número real, mas ela é dada de forma diferente quando . Então, vamos olhar os pontos onde e depois o ponto .

Passo 3

Para todos os , a função é composta por funções contínuas (seno, multiplicação e divisão, desde que o denominador não seja zero). Como para , o denominador nunca é zero, a função é contínua em todos esses pontos.

Passo 4

Agora, o ponto que pode dar problema é , porque aqui a definição da função muda. Vamos verificar a continuidade nesse ponto:
  1. Valor da função em :
  2. Limite de quando se aproxima de 0:
    Sabemos que . Aqui, podemos fazer a substituição , então quando , . Então:

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de 0 é igual ao valor de (ambos são 1), a função é contínua em todo o conjunto dos números reais .

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