Determine se as seguintes funções são periódicas, e caso afirmativo, indique o período:
x(n)=\cos ^{2}\left(\frac{21}{5} n+5\right)

Passo 1

O sinal dado é a sequência discreta x(n)=\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{21}{5}n+5\bigr).
Estamos em processamento de sinais discretos e queremos saber se existe inteiro N>0 tal que
x(n+N)=x(n)\quad\forall n\,.
Para isso, vamos usar identidade trigonométrica e a condição de periodicidade em tempo discreto.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\cos^{2}\theta=\tfrac12+\tfrac12\cos(2\theta)
com \theta=\tfrac{21}{5}n+5. Assim
x(n)=\tfrac12+\tfrac12\cos\!\bigl(2\bigl(\tfrac{21}{5}n+5\bigr)\bigr) =\tfrac12+\tfrac12\cos\!\bigl(\tfrac{42}{5}n+10\bigr).

Passo 3

Queremos um inteiro N>0 tal que
\cos\!\bigl(\tfrac{42}{5}(n+N)+10\bigr) =\cos\!\bigl(\tfrac{42}{5}n+10\bigr) \quad\forall n.
Isto acontece se e somente se
\tfrac{42}{5}N=2\pi m \quad\text{para algum inteiro }m.

Passo 4

Da igualdade acima segue
N=\frac{2\pi m}{\tfrac{42}{5}} =\frac{10\pi m}{42} =\frac{5\pi m}{21}.
Para que N seja inteiro, precisaríamos de \pi racional, mas \pi é irracional. Logo não existe inteiro m\neq0 que torne N inteiro.

Resposta

A sequência x(n) não é periódica.

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