Determine e prove se as seguintes funções são lineares, invariantes no tempo e causais:
y(n)=(n+3) x(n-2)+5

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema discreto
y(n) = (n+3)\,x(n-2) + 5
e pede para verificar se ele é linear, invariante no tempo e causal. Para isso vamos usar:
– Definição de linearidade (superposição e homogeneidade).
– Definição de invariância no tempo (resposta a entrada deslocada).
– Definição de causalidade (não usar valores futuros de x).

Passo 2

Para testar linearidade, considere duas entradas x_1(n), x_2(n) e escalres a,b. A resposta ao sinal combinado a\,x_1 + b\,x_2 é
y_{ab}(n) = (n+3)\bigl[a\,x_1(n-2)+b\,x_2(n-2)\bigr] + 5 = a\,(n+3)x_1(n-2) + b\,(n+3)x_2(n-2) + 5.
Por outro lado,
a\,y_1(n)+b\,y_2(n) = a\bigl[(n+3)x_1(n-2)+5\bigr] + b\bigl[(n+3)x_2(n-2)+5\bigr] = a\,(n+3)x_1(n-2) + b\,(n+3)x_2(n-2) + (a+b)\,5.
Para igualdade seria necessário 5=(a+b)\,5 para todo a,b, o que só ocorre em casos triviais. Além disso, se x(n)\equiv0 temos y(n)=5\neq0, contrariando a propriedade de linearidade.
Logo, o sistema não é linear.

Passo 3

Para verificar invariância no tempo, aplique um deslocamento k_0 na entrada: x'(n)=x(n-k_0). A saída correspondente é
y'(n) = (n+3)\,x(n-k_0-2) + 5.
Já deslocando a saída original em k_0 temos
y(n-k_0) = (n-k_0+3)\,x(n-k_0-2) + 5.
Como em geral n+3 \neq n-k_0+3, não há coincidência entre y'(n) e y(n-k_0).
Portanto, o sistema não é invariante no tempo.

Passo 4

Para avaliar causalidade, observamos que em y(n) a única dependência de x é em x(n-2). Como n-2 \le n para todo n, a saída em n usa apenas valores presentes ou passados de x. O termo constante +5 não envolve x.
Logo, o sistema é causal.

Resposta

O sistema y(n)=(n+3)x(n-2)+5 é
– Não linear.
– Não invariante no tempo.
– Causal.

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