Determine e prove se as seguintes funções são lineares, invariantes no tempo e causais:
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema discreto
e pede para verificar se ele é linear, invariante no tempo e causal. Para isso vamos usar:
– Definição de linearidade (superposição e homogeneidade).
– Definição de invariância no tempo (resposta a entrada deslocada).
– Definição de causalidade (não usar valores futuros de ).
– Definição de linearidade (superposição e homogeneidade).
– Definição de invariância no tempo (resposta a entrada deslocada).
– Definição de causalidade (não usar valores futuros de
Passo 2
Para testar linearidade, considere duas entradas
,
e escalres
. A resposta ao sinal combinado
é
Por outro lado,
Para igualdade seria necessário
para todo
, o que só ocorre em casos triviais. Além disso, se
temos
, contrariando a propriedade de linearidade.
Logo, o sistema não é linear.
Logo, o sistema não é linear.
Passo 3
Para verificar invariância no tempo, aplique um deslocamento
na entrada:
. A saída correspondente é
Já deslocando a saída original em
temos
Como em geral
, não há coincidência entre
e
.
Portanto, o sistema não é invariante no tempo.
Portanto, o sistema não é invariante no tempo.
Passo 4
Para avaliar causalidade, observamos que em
a única dependência de
é em
. Como
para todo
, a saída em
usa apenas valores presentes ou passados de
. O termo constante
não envolve
.
Logo, o sistema é causal.
Logo, o sistema é causal.
Resposta
O sistema
é
– Não linear.
– Não invariante no tempo.
– Causal.
– Não linear.
– Não invariante no tempo.
– Causal.