Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a)
definida por
.
(a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para a gente verificar se uma certa função
é uma transformação linear. A função
está mapeando polinômios de grau no máximo 2 para outros polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve cumprir.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
, e para qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
- Adição vetorial:
- Homogeneidade:
Essas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura linear do espaço vetorial.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à função
dada:
Queremos verificar se
satisfaz as duas propriedades acima para quaisquer polinômios
e
, e para qualquer escalar
.
Passo 4
Verificando a adição vetorial:
Vamos calcular
e
e ver se são iguais.
Primeiro, somamos os polinômios:
Aplicando
:
Agora, vamos calcular
:
Somando:
Comparando com
, vemos que são iguais. Então, a propriedade da adição vetorial é satisfeita.
Passo 5
Verificando a homogeneidade:
Vamos calcular
e
e ver se são iguais.
Multiplicando o polinômio por
:
Aplicando
:
Agora, calculando
:
Multiplicando por
:
Comparando com
, vemos que são iguais. Então, a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a adição vetorial quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é uma transformação linear.