Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) T: P2 P2 definida por T(x+y t+z t^2)=y-x t+(x+z) t^2.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para a gente verificar se uma certa função é uma transformação linear. A função está mapeando polinômios de grau no máximo 2 para outros polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve cumprir.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e , e para qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição vetorial:
  2. Homogeneidade:
Essas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura linear do espaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à função T(x + y t + z t^2) = y - x t + (x + z) t^2 dada:
Queremos verificar se satisfaz as duas propriedades acima para quaisquer polinômios e , e para qualquer escalar .

Passo 4

Verificando a adição vetorial:
Vamos calcular p(t) + q(t) = (x + a) + (y + b) t + (z + c) t^2 e T(p(t) + q(t)) = (y + b) - (x + a) t + ((x + a) + (z + c)) t^2 e ver se são iguais.
Primeiro, somamos os polinômios:
= (y + b) - (x + a) t + (x + a + z + c) t^2
Aplicando T(p(t)) = y - x t + (x + z) t^2 :
T(q(t)) = b - a t + (a + c) t^2
T(p(t)) + T(q(t)) = (y + b) - (x + a) t + (x + z + a + c) t^2
Agora, vamos calcular :
Somando:
Comparando com , vemos que são iguais. Então, a propriedade da adição vetorial é satisfeita.

Passo 5

Verificando a homogeneidade:
Vamos calcular k cdot p(t) = (k x) + (k y) t + (k z) t^2 e T(k cdot p(t)) = (k y) - (k x) t + (k x + k z) t^2 e ver se são iguais.
Multiplicando o polinômio por = k y - k x t + k (x + z) t^2 :
T(p(t)) = y - x t + (x + z) t^2
Aplicando k cdot T(p(t)) = k y - k x t + k (x + z) t^2 :
Agora, calculando :
Multiplicando por :
Comparando com , vemos que são iguais. Então, a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a adição vetorial quanto a homogeneidade, podemos concluir que é uma transformação linear.

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