Determine os seguintes limites.
:
:
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o limite
Informações dadas: a variável
tende para
e a expressão é o produto de
por um polinômio de grau 2,
. Não há outras condições ou dados adicionais.
Passo 2
Uma técnica comum para limites quando
e aparece
é fazer a substituição
. Assim
quando
. Substituindo,
Portanto o limite se transforma em
Passo 3
Reescrevemos a expressão como quociente para facilitar o uso de regras de limite:
Quando
o numerador
(polinômio de grau 2) e o denominador
(exponencial). Assim temos uma forma indeterminada do tipo
, o que permite usar a regra de L’Hôpital.
Passo 4
Lembrete didático sobre a regra de L’Hôpital: se
é do tipo
ou
, e
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), e
próximo de
, então
quando o limite do lado direito existe (ou é
). Aqui podemos aplicar com
e
.
Passo 5
Aplicando L’Hôpital uma primeira vez: diferenciamos numerador e denominador.
Portanto
Ainda temos uma forma
porque
e
, então podemos aplicar L’Hôpital novamente.
Passo 6
Aplicando L’Hôpital uma segunda vez: diferenciamos de novo numerador e denominador.
Logo
Passo 7
Agora
quando
, então
Portanto o limite transformado vale
. Como a transformação
foi só uma mudança de variável, o limite original também vale
.
Passo 8
Interpretação intuitiva (para fixar a ideia): o exponencial
cresce muito mais rápido que qualquer polinômio
. No nosso caso, ao dividir um polinômio de grau
por
e ir a
, o denominador domina e o quociente tende a zero. Isso é a razão pela qual o produto original
tende a zero quando
.
Resposta
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