Determine os seguintes limites.
:
\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{x}\left(x^{2}+4 x-1\right)

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{x\to -\infty} e^{x}\left(x^{2}+4x-1\right).
Informações dadas: a variável x tende para -\infty e a expressão é o produto de e^{x} por um polinômio de grau 2, \left(x^{2}+4x-1\right). Não há outras condições ou dados adicionais.

Passo 2

Uma técnica comum para limites quando x\to -\infty e aparece e^{x} é fazer a substituição t=-x. Assim t\to +\infty quando x\to -\infty. Substituindo,
x=-t \quad\Rightarrow\quad e^{x}=e^{-t},\qquad x^{2}+4x-1=t^{2}-4t-1.
Portanto o limite se transforma em
\lim_{t\to +\infty} e^{-t}\left(t^{2}-4t-1\right).

Passo 3

Reescrevemos a expressão como quociente para facilitar o uso de regras de limite:
e^{-t}\left(t^{2}-4t-1\right)=\frac{t^{2}-4t-1}{e^{t}}.
Quando t\to+\infty o numerador t^{2}-4t-1\to+\infty (polinômio de grau 2) e o denominador e^{t}\to+\infty (exponencial). Assim temos uma forma indeterminada do tipo \infty/\infty, o que permite usar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Lembrete didático sobre a regra de L’Hôpital: se \displaystyle\lim_{t\to a} \frac{f(t)}{g(t)} é do tipo \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}, e f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), e g'(t)\neq 0 próximo de a, então
\lim_{t\to a}\frac{f(t)}{g(t)}=\lim_{t\to a}\frac{f'(t)}{g'(t)}
quando o limite do lado direito existe (ou é \pm\infty). Aqui podemos aplicar com f(t)=t^{2}-4t-1 e g(t)=e^{t}.

Passo 5

Aplicando L’Hôpital uma primeira vez: diferenciamos numerador e denominador.
f'(t)=\frac{d}{dt}(t^{2}-4t-1)=2t-4,\qquad g'(t)=\frac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.
Portanto
\lim_{t\to+\infty}\frac{t^{2}-4t-1}{e^{t}}=\lim_{t\to+\infty}\frac{2t-4}{e^{t}}.
Ainda temos uma forma \infty/\infty porque 2t-4\to+\infty e e^{t}\to+\infty, então podemos aplicar L’Hôpital novamente.

Passo 6

Aplicando L’Hôpital uma segunda vez: diferenciamos de novo numerador e denominador.
\frac{d}{dt}(2t-4)=2,\qquad \frac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.
Logo
\lim_{t\to+\infty}\frac{2t-4}{e^{t}}=\lim_{t\to+\infty}\frac{2}{e^{t}}.

Passo 7

Agora e^{t}\to+\infty quando t\to+\infty, então
\lim_{t\to+\infty}\frac{2}{e^{t}}=0.
Portanto o limite transformado vale 0. Como a transformação t=-x foi só uma mudança de variável, o limite original também vale 0.

Passo 8

Interpretação intuitiva (para fixar a ideia): o exponencial e^{t} cresce muito mais rápido que qualquer polinômio t^{n}. No nosso caso, ao dividir um polinômio de grau 2 por e^{t} e ir a t\to+\infty, o denominador domina e o quociente tende a zero. Isso é a razão pela qual o produto original e^{x}(x^{2}+4x-1) tende a zero quando x\to -\infty.

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