Determine se as seguintes propriedades dos sistemas são válidas. Justifique suas respostas.
(9 \mathrm{pts}) y(t)=t x(2 t) (Linear)

Passo 1

O enunciado dá um sistema cujas entradas e saídas são relacionadas por y(t)=t\,x(2t). A pergunta é: esse sistema é linear?
Informações fornecidas:
  • Entrada genérica: x(t).
  • Saída correspondente: y(t)=t\,x(2t).
  • Deve-se decidir se vale a propriedade de linearidade (ou seja, superposição/linearidade geral).

Passo 2

Definição útil (explicada passo a passo): um sistema T é linear se, para quaisquer sinais de entrada x_1(t) e x_2(t) e quaisquer escalares a,b, vale
T\big[a\,x_1 + b\,x_2\big] = a\,T[x_1] + b\,T[x_2].
Isto incorpora duas ideias:
  • Homogeneidade (escala): T[a\,x] = a\,T[x] para todo escalar a.
  • Aditividade: T[x_1+x_2]=T[x_1]+T[x_2].
    Se ambas valem simultaneamente para todos x_1,x_2,a,b, o sistema é linear.

Passo 3

Vamos aplicar a definição ao sistema dado. Denote por T o operador que associa x a y segundo a lei T[x](t)=t\,x(2t). Considere entradas x_1,x_2 e escalares a,b. A entrada combinada é a\,x_1 + b\,x_2; calcule a saída correspondente:
T\big[a\,x_1 + b\,x_2\big](t) = t\big(a\,x_1(2t) + b\,x_2(2t)\big).

Passo 4

Distribuindo t e os escalares dentro do parêntese, obtemos
t\big(a\,x_1(2t) + b\,x_2(2t)\big) = a\big(t\,x_1(2t)\big) + b\big(t\,x_2(2t)\big).
Pelo enunciado, t\,x_1(2t)=T[x_1](t) e t\,x_2(2t)=T[x_2](t). Portanto
T\big[a\,x_1 + b\,x_2\big](t) = a\,T[x_1](t) + b\,T[x_2](t).

Passo 5

Como a igualdade acima vale para todo t, para quaisquer sinais x_1,x_2 e quaisquer escalares a,b, concluímos que o operador T satisfaz a propriedade de superposição completa. Em linguagem informal: primeiro o sistema substitui t por 2t na entrada (que é uma operação linear) e depois multiplica o resultado por t (multiplicação ponto a ponto por uma função conhecida é também linear). A composição dessas duas operações lineares é linear.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar a intuição: escolha x_1(t)=1, x_2(t)=t, a=2, b=3. Então
T[2x_1+3x_2](t)=t\big(2\cdot x_1(2t)+3\cdot x_2(2t)\big)=t\big(2\cdot 1 + 3\cdot (2t)\big)=2t+6t^2,
enquanto
2T[x_1](t)+3T[x_2](t)=2\big(t\cdot 1\big)+3\big(t\cdot(2t)\big)=2t+6t^2,
coincidem, como esperado.

Resposta

Linear

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