Determine se as seguintes propriedades dos sistemas são válidas. Justifique suas respostas.
(Linear)
Passo 1
O enunciado dá um sistema cujas entradas e saídas são relacionadas por
. A pergunta é: esse sistema é linear?
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Entrada genérica:
. - Saída correspondente:
. - Deve-se decidir se vale a propriedade de linearidade (ou seja, superposição/linearidade geral).
Passo 2
Definição útil (explicada passo a passo): um sistema
é linear se, para quaisquer sinais de entrada
e
e quaisquer escalares
, vale
Isto incorpora duas ideias:
- Homogeneidade (escala):
para todo escalar . - Aditividade:
.
Se ambas valem simultaneamente para todos, o sistema é linear.
Passo 3
Vamos aplicar a definição ao sistema dado. Denote por
o operador que associa
a
segundo a lei
. Considere entradas
e escalares
. A entrada combinada é
; calcule a saída correspondente:
Passo 4
Distribuindo
e os escalares dentro do parêntese, obtemos
Pelo enunciado,
e
. Portanto
Passo 5
Como a igualdade acima vale para todo
, para quaisquer sinais
e quaisquer escalares
, concluímos que o operador
satisfaz a propriedade de superposição completa. Em linguagem informal: primeiro o sistema substitui
por
na entrada (que é uma operação linear) e depois multiplica o resultado por
(multiplicação ponto a ponto por uma função conhecida é também linear). A composição dessas duas operações lineares é linear.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar a intuição: escolha
,
,
,
. Então
enquanto
coincidem, como esperado.
Resposta
Linear