Encontre a resposta y(t) para cada sistema LTI a seguir. Determine se o sistema é BIBO estável/instável.
Se h(t)=\delta(t)-\frac{1}{4} \delta(t-2) é a resposta ao impulso, encontre a saída y(t) considerando a entrada x(t)=2^{-t} u(t).
Passo 1
O enunciado dá explicitamente:
A resposta ao impulso \,h(t)=\delta(t)-\dfrac{1}{4}\,\delta(t-2).
A entrada \,x(t)=2^{-t}\,u(t).
As tarefas pedidas:
Encontrar a saída \,y(t) do sistema LTI, isto é \,y(t)=(h*x)(t).
Determinar se o sistema é BIBO estável ou instável.
Passo 2
Lembrete prático sobre convolução em sistemas LTI:
Interpretação em termos de intervalo de tempo: a função u(t)-u(t-2) vale 1 para 0\le t<2 e vale 0 para t<0 ou t\ge 2 (quanto a valor pontual em t=0 ou t=2 depende da convenção para u(0), mas isso não afeta a forma essencial). Portanto temos a forma equivalente e mais explícita:
Critério de BIBO estabilidade para sistemas LTI contínuos: o sistema é BIBO estável se e somente se a resposta ao impulso for absolutamente integrável:
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt < \infty.
Para h(t) contendo deltas, essa integral reduce à soma dos valores absolutos dos coeficientes dos deltas: