Encontre a resposta y(t) para cada sistema LTI a seguir. Determine se o sistema é BIBO estável/instável.
Se h(t)=\delta(t)-\frac{1}{4} \delta(t-2) é a resposta ao impulso, encontre a saída y(t) considerando a entrada x(t)=2^{-t} u(t).

Passo 1

O enunciado dá explicitamente:
  • A resposta ao impulso \,h(t)=\delta(t)-\dfrac{1}{4}\,\delta(t-2).
  • A entrada \,x(t)=2^{-t}\,u(t).
    As tarefas pedidas:
  • Encontrar a saída \,y(t) do sistema LTI, isto é \,y(t)=(h*x)(t).
  • Determinar se o sistema é BIBO estável ou instável.

Passo 2

Lembrete prático sobre convolução em sistemas LTI:
y(t)=(h*x)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
Importante propriedade do delta: para qualquer função razoável f,
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau-a)\,f(\tau)\,d\tau=f(a).
Aplicada ao integrando com mudança de variável na convolução, tem-se também a identidade útil:
x(t)*\delta(t-a)=x(t-a).
Isto significa que convoluir com um delta deslocado apenas desloca a função de entrada.

Passo 3

Escrevendo h(t) como soma de deltas e usando linearidade da convolução:
h(t)=\delta(t)-\frac{1}{4}\,\delta(t-2) \quad\Longrightarrow\quad y(t)=x(t)*h(t)=x(t)-\frac{1}{4}\,x(t-2).
Aqui usei explicitamente que x(t)*\delta(t)=x(t) e x(t)*\delta(t-2)=x(t-2).

Passo 4

Agora substituo a entrada \,x(t)=2^{-t}u(t). Calculo primeiro x(t-2):
x(t-2)=2^{-(t-2)}\,u(t-2)=2^{-t+2}\,u(t-2)=4\cdot 2^{-t}\,u(t-2).
Substituindo em y(t):
y(t)=2^{-t}u(t)-\frac{1}{4}\bigl(4\cdot 2^{-t}u(t-2)\bigr)=2^{-t}u(t)-2^{-t}u(t-2).
Fatorando:
y(t)=2^{-t}\bigl(u(t)-u(t-2)\bigr).

Passo 5

Interpretação em termos de intervalo de tempo: a função u(t)-u(t-2) vale 1 para 0\le t<2 e vale 0 para t<0 ou t\ge 2 (quanto a valor pontual em t=0 ou t=2 depende da convenção para u(0), mas isso não afeta a forma essencial). Portanto temos a forma equivalente e mais explícita:
y(t)= \begin{cases} 2^{-t}, & 0\le t<2,\\[4pt] 0, & \text{outros }t. \end{cases}]

Passo 6

Critério de BIBO estabilidade para sistemas LTI contínuos: o sistema é BIBO estável se e somente se a resposta ao impulso for absolutamente integrável:
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt < \infty.
Para h(t) contendo deltas, essa integral reduce à soma dos valores absolutos dos coeficientes dos deltas:
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt = |\;1\;| + \Big|\!-\frac{1}{4}\Big| = 1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}<\infty.
Como a integral é finita, o sistema é BIBO estável. Uma forma intuitiva: se |x(t)|\le M então
|y(t)|\le M + \frac{1}{4}M=\frac{5}{4}M,
portanto uma entrada limitada gera saída limitada.

Resposta

y(t)=2^{-t}\bigl(u(t)-u(t-2)\bigr)
O sistema é BIBO estável.

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