Determine quais das seguintes regras definem uma função (Justifique!). Caso seja uma função, identifique seu domínio e codomínio.
A cada número real x associe um número real y tal que $x^{2}+2 y^{3}=2.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a regra "a cada número real \,x; associe um número real \,y; tal que \;x^{2}+2 y^{3}=2\;" define uma função.
Informações dadas:
  • A variável independente é \,x e varia sobre os números reais (o enunciado diz "a cada número real \,x").
  • A variável dependente é \,y e deve ser um número real que satisfaça a equação
x^{2}+2 y^{3}=2.
  • Precisamos justificar se existe e é única essa associação para cada \,x.
    (Não vou resolver a equação ainda — só listei o que o enunciado dá e o que pede.)

Passo 2

Isolar \,y na equação para ver se dá para escrever \,y como uma expressão única em função de \,x. Subtraindo \,x^{2} e dividindo por 2 obtemos
y^{3}=\;1-\frac{x^{2}}{2}.
Agora, para obter \,y, aplicamos a raiz cúbica:
y=\sqrt[3]{\,1-\frac{x^{2}}{2}\,}.
Isto fornece uma fórmula explícita que dá algum valor de \,y para cada \,x.

Passo 3

Vou explicar por que a equação \;y^{3}=t\; (onde \,t é um número real) tem exatamente uma solução real y. Considere a função
g(y)=y^{3}.
  • Propriedade importante: g é estritamente crescente em \mathbb{R}. Uma maneira direta de ver isso é verificar que, para y_1<y_2,
y_2^{3}-y_1^{3}=(y_2-y_1)\bigl(y_2^{2}+y_1y_2+y_1^{2}\bigr)>0,
porque \,y_2-y_1>0 e o parêntese é sempre positivo. Logo g(y) é injetora e, sendo contínua e com limites \lim_{y\to\pm\infty}y^{3}=\pm\infty, é sobrejetora em \mathbb{R}.
  • Consequência: para qualquer t\in\mathbb{R} existe exatamente um y\in\mathbb{R} tal que y^{3}=t. Esse y é o \emph{único} número real \sqrt[3]{t}.
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, com t=1-\dfrac{x^{2}}{2}, garantimos que para cada \,x\in\mathbb{R} existe um único \,y\in\mathbb{R} tal que y^{3}=1-\dfrac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Conclusão sobre função: como para cada x\in\mathbb{R} a equação tem exatamente uma solução real y, a regra define uma função. Podemos escrever explicitamente a função
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\sqrt[3]{\,1-\frac{x^{2}}{2}\,}.
Aqui escrevi o codomínio como \mathbb{R} porque o enunciado exige que o y associado seja um número real; portanto o alvo natural é o conjunto dos reais.

Passo 5

Determinar o domínio: o enunciado já diz "a cada número real \,x" — e a fórmula obtida \;f(x)=\sqrt[3]{1-\dfrac{x^{2}}{2}}\; é bem definida para todo \,x\in\mathbb{R} (a raiz cúbica de um número real existe para qualquer real). Logo o domínio é
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 6

Determinar o codomínio: como o enunciado pede que o y seja um número real, o codomínio natural que identificamos é
\mathrm{Codom}(f)=\mathbb{R}.
(Observação útil — não pedida explicitamente, mas boa para a prova: o conjunto imagem efetivo, isto é os valores realmente alcançados por f, é (-\infty,1], porque 1-\dfrac{x^{2}}{2}\le 1 para todo x, e como a raiz cúbica preserva ordem e é bijetora \mathbb{R}\to\mathbb{R}, obtemos \mathrm{Im}(f)=(-\infty,1].)

Passo 7

Exemplos numéricos para fixar a ideia (faça isto rápido na prova para checar):
  • Se \,x=0 então \;y=\sqrt[3]{1-\dfrac{0^{2}}{2}}=\sqrt[3]{1}=1.
  • Se \,x=2 então \;y=\sqrt[3]{1-\dfrac{2^{2}}{2}}=\sqrt[3]{1-2}=\sqrt[3]{-1}=-1.
    Esses cálculos mostram que a fórmula é pratica e fornece um único y para cada x.

Resposta

Sim: a regra define uma função.
Domínio: \mathbb{R}.
Codomínio: \mathbb{R}.