Determine quais das seguintes regras definem uma função (Justifique!). Caso seja uma função, identifique seu domínio e codomínio.
A cada número real
associe um número real
tal que $x^{2}+2 y^{3}=2.
A cada número real
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a regra "a cada número real
; associe um número real
; tal que
" define uma função.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A variável independente é
e varia sobre os números reais (o enunciado diz "a cada número real "). - A variável dependente é
e deve ser um número real que satisfaça a equação
- Precisamos justificar se existe e é única essa associação para cada
.
(Não vou resolver a equação ainda — só listei o que o enunciado dá e o que pede.)
Passo 2
Isolar
na equação para ver se dá para escrever
como uma expressão única em função de
. Subtraindo
e dividindo por
obtemos
Agora, para obter
, aplicamos a raiz cúbica:
Isto fornece uma fórmula explícita que dá algum valor de
para cada
.
Passo 3
Vou explicar por que a equação
(onde
é um número real) tem exatamente uma solução real
. Considere a função
- Propriedade importante:
é estritamente crescente em . Uma maneira direta de ver isso é verificar que, para ,
porque
e o parêntese é sempre positivo. Logo
é injetora e, sendo contínua e com limites
, é sobrejetora em
.
- Consequência: para qualquer
existe exatamente um tal que . Esse é o \emph{único} número real .
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, com
, garantimos que para cada
existe um único
tal que
.
Passo 4
Conclusão sobre função: como para cada
a equação tem exatamente uma solução real
, a regra define uma função. Podemos escrever explicitamente a função
Aqui escrevi o codomínio como
porque o enunciado exige que o
associado seja um número real; portanto o alvo natural é o conjunto dos reais.
Passo 5
Determinar o domínio: o enunciado já diz "a cada número real
" — e a fórmula obtida
é bem definida para todo
(a raiz cúbica de um número real existe para qualquer real). Logo o domínio é
Passo 6
Determinar o codomínio: como o enunciado pede que o
seja um número real, o codomínio natural que identificamos é
(Observação útil — não pedida explicitamente, mas boa para a prova: o conjunto imagem efetivo, isto é os valores realmente alcançados por
, é
, porque
para todo
, e como a raiz cúbica preserva ordem e é bijetora
, obtemos
.)
Passo 7
Exemplos numéricos para fixar a ideia (faça isto rápido na prova para checar):
- Se
então . - Se
então .
Esses cálculos mostram que a fórmula é pratica e fornece um únicopara cada .
Resposta
Sim: a regra define uma função.
Domínio: .
Codomínio: .
Domínio:
Codomínio: