Determine se os seguintes sistemas discretos são causais ou não causais, se tem memória ou não, se são lineares ou não lineares e se são variantes ou invariantes no tempo. Em todos os casos
é uma entrada qualquer,
é a resposta à entrada
e
é o degrau unitário.
b)
b)
Passo 1
O enunciado dá um sistema discreto com entrada
e saída
definidos por
O que se pede: determinar, para esse sistema, se ele é
- causal ou não causal;
- com memória ou sem memória (memoryless ou com memória);
- linear ou não linear;
- invariante ou variante no tempo.
Lista das informações relevantes fornecidas:
- A expressão analítica do sistema:
. -
é uma entrada arbitrária (qualquer sequência). -
é a resposta correspondente. - Não há outras restrições dadas (por ex. dependência de tempo explicitamente diferente).
Passo 2
Definição e teste de causalidade (explicação didática).
- Definição: um sistema é causal se, para todo instante
, a saída depende só de valores da entrada com (passado e presente), e nunca de valores com (futuro). - Observação no sistema: a saída em
depende de e de . O termo é um valor da entrada em um instante maior que , ou seja, é um valor futuro quando se está no tempo . - Conclusão direta: como aparece
, o sistema usa informação do futuro, portanto é não causal.
Exemplo concreto para fixar a ideia (mostrando como em uma prova se constrói um contraexemplo):
- Considere duas entradas
e tais que para todo , mas . - Por exemplo, escolha
para todo e (impulso em ). Então mas , . - Calcule as saídas no tempo
:
Apesar de as entradas serem idênticas para todo
, as saídas em
são diferentes; isso demonstra formalmente que o sistema é não causal.
Passo 3
Definição e teste de memória (memoryless) (explicação didática).
- Definição: um sistema é sem memória (memoryless) se, para todo
, a saída depende apenas do valor presente (e possivelmente de parâmetros fixos), e não de com . - No sistema dado há dependência explícita de
, ou seja, de um valor de em instante diferente de . - Conclusão: o sistema possui memória (não é memoryless).
Comentário intuitivo: memória significa que o sistema “lembra” outros instantes da entrada; aqui ele precisa de
, então “lembra” (ou consulta) outro instante.
Passo 4
Definição e teste de linearidade (explicação didática).
- Definição: um sistema é linear se satisfaz superposição — ou seja, para quaisquer entradas
e com respectivas saídas e , e quaisquer escalares , a entrada produz a saída . - Vamos verificar por conta:
- Para entrada
temos . - Para entrada
temos . - Considere a entrada combinada
. - A saída associada é
- Reagrupando,
- Para entrada
- Conclusão: o sistema satisfaz superposição e, portanto, é linear.
Observação didática: a presença de soma e multiplicação por constantes preserva linearidade; não há termos não lineares (como produto entre sinais, ou sinais ao quadrado), logo é linear.
Passo 5
Definição e teste de invariância no tempo (time-invariance) (explicação didática).
- Definição: um sistema é invariante no tempo se um deslocamento na entrada provoca exatamente o mesmo deslocamento na saída. Formalmente, se a entrada
produz , então a entrada deslocada deve produzir para todo deslocamento . - Verificação algebraica:
- Para entrada
temos . - Agora tome a entrada deslocada
. A saída correspondente é - O deslocamento da saída original é
- Observa-se que
para todo e todo deslocamento .
- Para entrada
- Conclusão: o sistema é invariante no tempo.
Intuição: a fórmula do sistema não contém fatores que dependam explicitamente de
(por exemplo, algo como
quebraria invariância); apenas indexações relativas aparecem (como
), as quais são preservadas por deslocamentos.
Resposta
Não causal
Com memória
Linear
Invariante no tempo
Com memória
Linear
Invariante no tempo