Determine se os seguintes sistemas discretos são causais ou não causais, se tem memória ou não, se são lineares ou não lineares e se são variantes ou invariantes no tempo. Em todos os casos x[n] é uma entrada qualquer, y[n] é a resposta à entrada x[n] e u[n] é o degrau unitário.
b) y[n]=x[n]+2 x[n+1]

Passo 1

O enunciado dá um sistema discreto com entrada x[n] e saída y[n] definidos por
y[n]=x[n]+2\,x[n+1].
O que se pede: determinar, para esse sistema, se ele é
  • causal ou não causal;
  • com memória ou sem memória (memoryless ou com memória);
  • linear ou não linear;
  • invariante ou variante no tempo.
Lista das informações relevantes fornecidas:
  • A expressão analítica do sistema: y[n]=x[n]+2\,x[n+1].
  • x[n] é uma entrada arbitrária (qualquer sequência).
  • y[n] é a resposta correspondente.
  • Não há outras restrições dadas (por ex. dependência de tempo explicitamente diferente).

Passo 2

Definição e teste de causalidade (explicação didática).
  • Definição: um sistema é causal se, para todo instante n_0, a saída y[n_0] depende só de valores da entrada x[k] com k\le n_0 (passado e presente), e nunca de valores com k>n_0 (futuro).
  • Observação no sistema: a saída em n depende de x[n] e de x[n+1]. O termo x[n+1] é um valor da entrada em um instante maior que n, ou seja, é um valor futuro quando se está no tempo n.
  • Conclusão direta: como aparece x[n+1], o sistema usa informação do futuro, portanto é não causal.
Exemplo concreto para fixar a ideia (mostrando como em uma prova se constrói um contraexemplo):
  • Considere duas entradas \;x_1[n] e \;x_2[n] tais que \;x_1[k]=x_2[k] para todo k\le 0, mas \;x_1[1]\neq x_2[1].
  • Por exemplo, escolha \;x_1[n]=0 para todo n e \;x_2[n]=\delta[n-1] (impulso em n=1). Então \;x_1[0]=x_2[0]=0 mas \;x_1[1]=0, \;x_2[1]=1.
  • Calcule as saídas no tempo n=0: y_1[0]=x_1[0]+2x_1[1]=0+2\cdot 0=0,
y_2[0]=x_2[0]+2x_2[1]=0+2\cdot 1=2.
Apesar de as entradas serem idênticas para todo k\le 0, as saídas em n=0 são diferentes; isso demonstra formalmente que o sistema é não causal.

Passo 3

Definição e teste de memória (memoryless) (explicação didática).
  • Definição: um sistema é sem memória (memoryless) se, para todo n, a saída y[n] depende apenas do valor presente x[n] (e possivelmente de parâmetros fixos), e não de x[k] com k\neq n.
  • No sistema dado há dependência explícita de x[n+1], ou seja, de um valor de x em instante diferente de n.
  • Conclusão: o sistema possui memória (não é memoryless).
Comentário intuitivo: memória significa que o sistema “lembra” outros instantes da entrada; aqui ele precisa de x[n+1], então “lembra” (ou consulta) outro instante.

Passo 4

Definição e teste de linearidade (explicação didática).
  • Definição: um sistema é linear se satisfaz superposição — ou seja, para quaisquer entradas x_1[n] e x_2[n] com respectivas saídas y_1[n] e y_2[n], e quaisquer escalares a,b, a entrada a x_1[n]+b x_2[n] produz a saída a y_1[n]+b y_2[n].
  • Vamos verificar por conta:
    • Para entrada x_1[n] temos y_1[n]=x_1[n]+2x_1[n+1].
    • Para entrada x_2[n] temos y_2[n]=x_2[n]+2x_2[n+1].
    • Considere a entrada combinada x[n]=a x_1[n]+b x_2[n].
    • A saída associada é y[n]=x[n]+2x[n+1]=a x_1[n]+b x_2[n]+2\bigl(a x_1[n+1]+b x_2[n+1]\bigr).
    • Reagrupando, y[n]=a\bigl(x_1[n]+2x_1[n+1]\bigr)+b\bigl(x_2[n]+2x_2[n+1]\bigr)=a y_1[n]+b y_2[n].
  • Conclusão: o sistema satisfaz superposição e, portanto, é linear.
Observação didática: a presença de soma e multiplicação por constantes preserva linearidade; não há termos não lineares (como produto entre sinais, ou sinais ao quadrado), logo é linear.

Passo 5

Definição e teste de invariância no tempo (time-invariance) (explicação didática).
  • Definição: um sistema é invariante no tempo se um deslocamento na entrada provoca exatamente o mesmo deslocamento na saída. Formalmente, se a entrada x[n] produz y[n], então a entrada deslocada x_\tau[n]=x[n-n_0] deve produzir y_\tau[n]=y[n-n_0] para todo deslocamento n_0.
  • Verificação algebraica:
    • Para entrada x[n] temos y[n]=x[n]+2x[n+1].
    • Agora tome a entrada deslocada x_\tau[n]=x[n-n_0]. A saída correspondente é y_\tau[n]=x_\tau[n]+2x_\tau[n+1]=x[n-n_0]+2x[n-n_0+1].
    • O deslocamento da saída original é y[n-n_0]=x[n-n_0]+2x[n-n_0+1].
    • Observa-se que y_\tau[n]=y[n-n_0] para todo n e todo deslocamento n_0.
  • Conclusão: o sistema é invariante no tempo.
Intuição: a fórmula do sistema não contém fatores que dependam explicitamente de n (por exemplo, algo como n\cdot x[n] quebraria invariância); apenas indexações relativas aparecem (como n+1), as quais são preservadas por deslocamentos.

Resposta

Não causal
Com memória
Linear
Invariante no tempo

Exercícios relacionados