Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se os vetores
são linearmente independentes no espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de independência linear e aplicar isso aos polinômios dados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Em termos simples, um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes dessa combinação são zero. Ou seja, se temos:
Então, para que os vetores sejam independentes, a única solução para
e
deve ser
e
.
Passo 3
Agora, vamos montar a equação baseada na definição acima:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que satisfazem essa equação para todos os valores de
. Vamos expandir a equação:
Passo 4
Reorganizando os termos, temos:
Para que essa equação seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Isso nos dá um sistema de equações:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
- De
, já sabemos que . - De
, temos que . - Substituindo
e na terceira equação: , que confirma nossa solução.
Resposta
Como a única solução para
e
é
e
, os vetores
são linearmente independentes em
.