Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=\cos (n / 2)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência a_{n}=\cos\!\left(\dfrac{n}{2}\right) quando n\to\infty: determinar se converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite.
Informações dadas:
  • A sequência é definida por a_{n}=\cos\!\left(\dfrac{n}{2}\right) para n\in\mathbb{N}.
  • Não há outras condições ou parâmetros; o que varia é apenas n.

Passo 2

Ideia de resolução (explicada de forma simples): se a sequência converge, todas as suas subsequências devem convergir para o mesmo limite. Uma forma prática de mostrar divergência é encontrar duas subsequências que convergem para limites diferentes. Vamos tentar construir duas subsequências de a_n que tenham limites distintos (por exemplo, uma que tende a 1 e outra que tende a -1). Como \cos(x) depende só de x modulo 2\pi, o comportamento de a_n é determinado pelos restos de \dfrac{n}{2} quando reduzidos módulo 2\pi. Se pudermos mostrar que existe uma subsequência de índices n tal que \dfrac{n}{2} fica arbitrariamente próximo de múltiplos de 2\pi (dando \cos perto de 1) e outra subsequência tal que \dfrac{n}{2} fica arbitrariamente próximo de números da forma \pi+2\pi k (dando \cos perto de -1), então teremos divergência.

Passo 3

Uma ferramenta útil e simples (lembrada como lema) — versão com argumento por princípio das gavetas —: se \alpha é irracional, os números \{n\alpha\} (as partes fracionárias de n\alpha) são densos em [0,1]. Vou dar um esboço da prova desse fato (é um argumento curto e elementar, que não usa teoremas pesados).
Prova por princípio das gavetas (esboço):
  • Seja \alpha irracional e escolha um inteiro N grande. Considere os N+1 números \{0\},\{\alpha\},\{\!2\alpha\!\},\dots,\{\!N\alpha\!\} no intervalo [0,1).
  • Particione [0,1) em N subintervalos iguais de comprimento 1/N. Pelo princípio das gavetas, dois desses N+1 números caem no mesmo subintervalo, portanto a diferença entre dois deles é menor que 1/N.
  • Se \{j\alpha\} e \{k\alpha\} caem no mesmo subintervalo com j>k, então |(j-k)\alpha - m| < 1/N para algum inteiro m. Assim existe um inteiro q=j-k com \|q\alpha\|<1/N (onde \|x\| é a distância de x ao inteiro mais próximo).
  • Como N é arbitrário, existem inteiros q com \|q\alpha\| arbitrariamente pequenos. A partir disso pode-se combinar esses pequenos resíduos para aproximar qualquer número fracionário desejado, mostrando densidade dos \{n\alpha\} em [0,1].
    Esse é o argumento padrão e suficiente para nosso objetivo.

Passo 4

Aplicação ao nosso problema: escrevemos
\frac{n}{2}=2\pi\cdot\frac{n}{4\pi}.
Defina \alpha=\dfrac{1}{4\pi}. Como \pi é irracional, \alpha também é irracional. Pelo lema do Passo 3, as partes fracionárias \{n\alpha\} são densas em [0,1]. Isso significa que existem sequências de inteiros n_k tais que \{n_k\alpha\}\to 0 e outras sequências m_k tais que \{m_k\alpha\}\to \tfrac{1}{2}.
Agora relacione isso com \dfrac{n}{2} módulo 2\pi:
  • Se \{n_k\alpha\}\to 0, então
\frac{n_k}{2}=2\pi\{n_k\alpha\}+2\pi\lfloor n_k\alpha\rfloor
e a parte módulo 2\pi (que é 2\pi\{n_k\alpha\}) tende a 0. Portanto \cos\!\left(\dfrac{n_k}{2}\right)=\cos(2\pi\{n_k\alpha\})\to\cos(0)=1.
  • Se \{m_k\alpha\}\to \tfrac{1}{2}, então a parte módulo 2\pi de \dfrac{m_k}{2} tende a 2\pi\cdot\tfrac{1}{2}=\pi. Assim \cos\!\left(\dfrac{m_k}{2}\right)\to\cos(\pi)=-1.
Concluímos que existem duas subsequências de a_n com limites diferentes: uma que tende a 1 e outra que tende a -1.

Passo 5

Conclusão final: como há subsequências convergentes com limites distintos ( 1 e -1), a sequência a_{n}=\cos\!\left(\dfrac{n}{2}\right) não pode convergir (se convergisse todas as subsequências teriam o mesmo limite). Portanto a sequência diverge. (Força moral: é como o cosseno “varrer” toda a faixa [-1,1] porque o argumento n/2 vai ficando, módulo 2\pi, por toda a volta de forma não periódica.)

Resposta

A sequência diverge.