Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a sequência
quando
: determinar se converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A sequência é definida por
para . - Não há outras condições ou parâmetros; o que varia é apenas
.
Passo 2
Ideia de resolução (explicada de forma simples): se a sequência converge, todas as suas subsequências devem convergir para o mesmo limite. Uma forma prática de mostrar divergência é encontrar duas subsequências que convergem para limites diferentes. Vamos tentar construir duas subsequências de
que tenham limites distintos (por exemplo, uma que tende a
e outra que tende a
). Como
depende só de
modulo
, o comportamento de
é determinado pelos restos de
quando reduzidos módulo
. Se pudermos mostrar que existe uma subsequência de índices
tal que
fica arbitrariamente próximo de múltiplos de
(dando
perto de
) e outra subsequência tal que
fica arbitrariamente próximo de números da forma
(dando
perto de
), então teremos divergência.
Passo 3
Uma ferramenta útil e simples (lembrada como lema) — versão com argumento por princípio das gavetas —: se
é irracional, os números
(as partes fracionárias de
) são densos em
. Vou dar um esboço da prova desse fato (é um argumento curto e elementar, que não usa teoremas pesados).
Prova por princípio das gavetas (esboço):
- Seja
irracional e escolha um inteiro grande. Considere os números no intervalo . - Particione
em subintervalos iguais de comprimento . Pelo princípio das gavetas, dois desses números caem no mesmo subintervalo, portanto a diferença entre dois deles é menor que . - Se
e caem no mesmo subintervalo com , então para algum inteiro . Assim existe um inteiro com (onde é a distância de ao inteiro mais próximo). - Como
é arbitrário, existem inteiros com arbitrariamente pequenos. A partir disso pode-se combinar esses pequenos resíduos para aproximar qualquer número fracionário desejado, mostrando densidade dos em .
Esse é o argumento padrão e suficiente para nosso objetivo.
Passo 4
Aplicação ao nosso problema: escrevemos
Defina
. Como
é irracional,
também é irracional. Pelo lema do Passo 3, as partes fracionárias
são densas em
. Isso significa que existem sequências de inteiros
tais que
e outras sequências
tais que
.
Agora relacione isso com
módulo
:
- Se
, então
e a parte módulo
(que é
) tende a
. Portanto
.
- Se
, então a parte módulo de tende a . Assim .
Concluímos que existem duas subsequências de
com limites diferentes: uma que tende a
e outra que tende a
.
Passo 5
Conclusão final: como há subsequências convergentes com limites distintos (
e
), a sequência
não pode convergir (se convergisse todas as subsequências teriam o mesmo limite). Portanto a sequência diverge. (Força moral: é como o cosseno “varrer” toda a faixa
porque o argumento
vai ficando, módulo
, por toda a volta de forma não periódica.)
Resposta
A sequência diverge.