Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes.
ln(1/n) com n variando de 1 a +infinito

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência aí que é . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico conforme fica muito grande) ou se diverge (não se aproxima de nenhum número específico). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar o cálculo. Temos . Sabemos que é o mesmo que , então podemos reescrever assim:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar ainda mais:
Então, a nossa sequência fica:

Passo 4

Para determinar o comportamento dessa sequência quando tende ao infinito, vamos analisar o limite de quando cresce sem parar.
Sabemos que o logaritmo natural cresce sem limite conforme aumenta. Ou seja, tende ao infinito quando vai para o infinito.

Passo 5

Como temos um sinal negativo na frente do , isso significa que irá tender a conforme cresce. Portanto:

Resposta

A sequência é divergente, pois tende a conforme cresce.

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