Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência aí que é
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico conforme
fica muito grande) ou se diverge (não se aproxima de nenhum número específico). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar o cálculo. Temos
. Sabemos que
é o mesmo que
, então podemos reescrever assim:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar ainda mais:
Então, a nossa sequência fica:
Passo 4
Para determinar o comportamento dessa sequência quando
tende ao infinito, vamos analisar o limite de
quando
cresce sem parar.
Sabemos que o logaritmo natural
cresce sem limite conforme
aumenta. Ou seja,
tende ao infinito quando
vai para o infinito.
Passo 5
Como temos um sinal negativo na frente do
, isso significa que
irá tender a
conforme
cresce. Portanto:
Resposta
A sequência
é divergente, pois tende a
conforme
cresce.