Determine se as sequências abaixo são limitadas e se são monótonas.
c_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para a sequência
c_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+1}
verificar duas propriedades: se é limitada (isto é, existe um número real que serve de “teto” e “piso” para todos os termos) e se é monótona (isto é, se está sempre aumentando ou sempre diminuindo). Vamos usar a definição de limite superior e inferior para mostrado que é limitada, e o critério de monotonicidade para sequências para ver se é crescente ou decrescente.

Passo 2

Para mostrar que (c_{n}) é limitada, olhamos o valor absoluto de cada termo:
\bigl|c_{n}\bigr| = \frac{\bigl|(-1)^{n}\bigr|}{n^{2}+1} = \frac{1}{n^{2}+1}.
Como n^2+1\ge1 para todo n\in\mathbb{N}, temos
0 \le \frac{1}{n^{2}+1} \le 1.
Na prática, se a sequência começar em n=1, o maior valor de \bigl|c_{n}\bigr| ocorre em n=1 e vale \tfrac12. Logo
-\tfrac12 \le c_{n} \le \tfrac12
para todo n. Portanto, a sequência é limitada.

Passo 3

Para testar monotonicidade, observamos sinais alternados: para n par, c_{n}>0; para n ímpar, c_{n}<0. Logo não pode haver “sempre aumentando” nem “sempre diminuindo” ao passar de um índice ímpar para o próximo par. Mais formalmente, compare c_{1}=-\tfrac12 e c_{2}=+\tfrac15: houve aumento (de -0,5 para 0,2); mas compare c_{2}=0,2 e c_{3}=-0,1: houve queda. Assim, não existe um sentido único de crescimento ou decrescimento para todos os n. Portanto, (c_{n}) não é monótona.

Resposta

A sequência \bigl(c_{n}\bigr) é limitada (pois -\tfrac12 \le c_{n} \le \tfrac12) e não é monótona.

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