Determine se as sequências abaixo são limitadas e se são monótonas.
d_{n}=\frac{1+(-1)^{n}}{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
d_{n} = \frac{1 + (-1)^{n}}{n}
e pede para verificar se ela é limitada e se é monótona. Vamos usar a definição de sequência limitada (existe cota superior e cota inferior que valham para todo n) e a definição de monotonicidade (se é sempre crescente ou sempre decrescente).

Passo 2

Para entender o comportamento de d_{n}, observamos o valor de (-1)^{n}:
  • Se n é par, então (-1)^{n}=1 e
d_{n} = \frac{1 + 1}{n} = \frac{2}{n}.
  • Se n é ímpar, então (-1)^{n}=-1 e
d_{n} = \frac{1 - 1}{n} = 0.

Passo 3

Com isso, a sequência vale
d_{n} = \begin{cases} 0, & n\text{ ímpar},\\\ \dfrac{2}{n}, & n\text{ par}. \end{cases}í
Para toda n ímpar temos d_{n}=0 e para toda n par temos
0 < \frac{2}{n} \le \frac{2}{2} = 1.
Logo, em todos os casos
0 \le d_{n} \le 1,
portanto a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.

Passo 4

Para ser monótona crescente precisaríamos ter d_{n+1}\ge d_{n} para todo n, e para ser monótona decrescente precisaríamos ter d_{n+1}\le d_{n} para todo n. Mas a sequência oscila:
d_{1}=0,\quad d_{2}=1,\quad d_{3}=0,\quad d_{4}=\tfrac12,\quad d_{5}=0,\;\dots
vemos subidas (de 0 para 1) e descidas (de 1 para 0), então não há uma única direção de variação. Portanto não é monótona.

Resposta

A sequência \{d_{n}\} é limitada (fica entre 0 e 1) e não é monótona.

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