Determine se as sequências abaixo são limitadas e se são monótonas.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para verificar se ela é limitada e se é monótona. Vamos usar a definição de sequência limitada (existe cota superior e cota inferior que valham para todo
) e a definição de monotonicidade (se é sempre crescente ou sempre decrescente).
Passo 2
Para entender o comportamento de
, observamos o valor de
:
- Se
é par, então e
- Se
é ímpar, então e
Passo 3
Com isso, a sequência vale
Para toda
ímpar temos
e para toda
par temos
Logo, em todos os casos
portanto a sequência é limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Passo 4
Para ser monótona crescente precisaríamos ter
para todo
, e para ser monótona decrescente precisaríamos ter
para todo
. Mas a sequência oscila:
vemos subidas (de
para
) e descidas (de
para
), então não há uma única direção de variação. Portanto não é monótona.
Resposta
A sequência
é limitada (fica entre
e
) e não é monótona.